เอาข้อสอบคณิตศาสตร์เข้ามหาวิทยาลัยเกียวโต ปีล่าสุดมาฝากให้ลองทำกันดูครับ

[drwut]

เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเกียวโต (Kyoto University) อันดับสูสีกับ Todai หรือ Tokyo University มาให้ลองกันดูนะครับ ว่าวัดกึ๋นได้มากน้อยแค่ไหน วันนี้เอามาฝาก 2 ข้อนะครับ

ข้อ 1.
　
กำหนดให้ $$ x^2 + xy +y^2 = 6 โดย \quad x, y \in R$$

จงหาช่วงของค่าของ $$ x^2 y - xy^2 -x^2-2xy-y^2+x+y$$

ข้อ 2.

จงตอบคำถามต่อไปนี้
2.1 กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่า $$\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^\frac{1}{n} $$
2.2 จงหาค่าของ $$ \int_{1}^{\sqrt{3}}\ \frac{1}{x^2} \log{\sqrt{1+x^2}} dx $$

ลองคิดกันดูนะครับ เผื่อจะได้หลายๆไอเดีย คณิตศาสตร์ที่สวยงามคือคณิตศาสตร์ที่มีวิธีคิดหลายวิธี

[~ArT_Ty~]

โจทย์ถามว่าอะไรครับ??

[จูกัดเหลียง]

ข้อ 2. ไม่ทราบว่าทำวิธีนี้ได้ป่ะครับ
สมมุติ$a> 1$ จะได้ว่าทุกจำนวนจริง $a,$ $a+\dfrac{1}{a^{n-1}}\ge\sqrt[n]{a^n+1}\ge a$
ดังนั้น $a=\lim_{n \rightarrow \infty} \Big(a+\dfrac{1}{a^{n-1}}\Big)\ge \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^n+1}\ge \lim_{n\rightarrow \infty}a=a$
ดังนั้น $\lim_{n\rightarrow \infty} (a^n+1)^{1/n}=a$ เมื่อ $a>1$
เเละถ้า $a\le 1$ ให้ $a=1/k$ เมื่อ $k\ge 1$จึงได้ทำนองเดียวกันว่า
$\lim_{n\rightarrow \infty} (a^n+1)^{1/n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{(k^n+1)^{1/n}}{k}=\dfrac{\lim_{n\rightarrow \infty} (k^n+1)^{1/n}}{k}=1$
จึงได้ว่า $$\lim_{n\rightarrow \infty} (a^n+1)^{1/n}= \cases{a & , a>1 \cr 1 & , a\le 1} $$
ปล.ข้อ2.2ผมดูเฉลยไปเเล้ว 555+ เเละติดตามข้อสอบเข้า Kyodai อยู่นะครับ

[จูกัดเหลียง]

2.1ส่วนอันนี้ผมคิดเองไม่รู้ว่าถูกป่าว 555
$$\int \frac{1}{x^2}\log(x^2+1) dx=\frac{1}{x}\log(x^2+1)+2\int \frac{1}{x^2+1}dx-\int \frac{1}{x^2}\log(x^2+1) dx$$
ดังนั้น $$\int\frac{1}{x^2}\log(x^2+1) dx=\frac{1}{2}\Big(\frac{\log(x^2+1)}{x}+2\tan^{-1} x\Big)$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ drwut

2.1 กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่า $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^\frac{1}{n} $

ข้อนี้มาจากสูตรนี้

ถ้า $a_1,a_2,...,a_k>0$ แล้ว $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n}=\max\{a_1,a_2,...,a_k\}$

Proof

สมมติโดยไม่เสียนัยทั่วไปว่า $a_k=\max\{a_1,a_2,...,a_k\}$

จะได้ว่า

$a_k^n\leq a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n\leq ka_k^n$

ดังนั้น

$a_k\leq \sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n}\leq k^{1/n}a_k$

แต่ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}k^{1/n}=1$

จึงได้ว่า

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_k^n}=a_k$

โดย Sandwich Theorem

[drwut]

ข้อ 2.1 ถูกต้องเลยครับ เยี่ยมเลย เอาไว้เดี๋ยวจะลองเสนอวิธีของผมบ้างนะครับ ส่วนข้อ 1 ลองทำดูด้วยนะครับ จะได้มาดูวิธีคิดกัน

[drwut]