หาหลักหน่วยของจำนวนเลขยกกำลัง

[artty60]

อยากทราบว่าหลักหน่วยของจำนวนทั้งสองนี้เท่ากันหรือไม่ครับ $7^{7^{7^{7^7}}}$ และ $17^{17^{17^{17^{17}}}}$

[กระบี่ทะลวงด่าน]

อันเเรกลงท้ายด้วยสามคับ อันสองลงท้ายด้วย เจ็ดคับ

$7^{7^{7^{7^7}}}\equiv ? ( mod 10 )$
$7^{7^{7^7}}\equiv ? ( mod 4)$
$7^{7^7}\equiv ? ( mod 2 )$
เเล้วใช้ ออยเลอร์พิจารณาดูคับ

[artty60]

ผมยังไม่ค่อยเข้าใจ อธิบายเพิ่มเติมให้ชัดเจนขึ้นได้ไหม

แล้วเป็นแบบนี้ได้ไหม (ผมไม่แน่ใจครับ ผู้รู้ช่วยหน่อยครับ)

$7^7=7^4\times7^3=2401\times 343$ หลักหน่วยคือ $3\,\therefore 7^{7^{7^{7^{7}}}}$ ก็มีหลักหน่วยเป็น $3$ เหมือนกัน

ในทำนองเดียวกัน

$17^{17}=17^{16}\times 17^1=...1\times 17$ หลักหน่วยคือ $7\,\therefore 17^{17^{17^{17^{17}}}}$ ก็มีหลักหน่วยเป็น $7$ เหมือนกัน

[กระบี่ทะลวงด่าน]

#3 ทำแบบนั้นไม่ได้นะครับเพราะว่าเราไม่มีเหตุผลเพียงพอจะสรุปได้อย่างนั้น
จาก $7^{7^7}\equiv 1 (mod2) $ ได้ว่า $7^{7^7}$ เขียนได้ในรูป $2k+1$
ดังนั้น $7^{7^{7^7}}\equiv 7^{2k+1}\equiv (1)(7)\equiv 3 (mod 4)$ เขียนได้ในรูป $4k+3$
ดังนั้น $7^{7^{7^{7^7}}}\equiv 7^{4k+3}\equiv (1)(3) (mod10) \therefore $ ลงท้ายด้วย $3$
ในทำนองเดียวกันอีกก้อนลงท้ายด้วย $7$
(ใช้ทบ.ออยเลอร์ )