ข่วยเช็คการพิสูจน์ให้ทีครับ

[Pattern&Math]

ทบ. ให้ $(X,d)$ และ $(Y,d')$ เป็นปริภูมิเมตริก ให้ $f:X\rightarrow Y$ เปฌนฟังก์ชั่น และ $x_0\in X$
จะได้ว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริง โดยทุกข้อความสมมูลกัน
1. $f$ ต่อเนื่องที่ $x_0$
2.แต่ละ $w\in \eta (f(x_0))$ ใน $Y$ มี $v\in \eta (x_0) $ ใน $X$ ที่ $f(v) \subseteq w$
3.แต่ละ $w\in \eta (f(x_0))$ ใน $Y$ จะได้ว่า $f^{(-1)}(w)\in \eta (x_0)$ ใน $X$

Proof
ข้อ2 ไป ข้อ1
ให้ข้อ 2 เป็นจริง
ให้ $\epsilon > 0$ ได้ว่า $Bd'(f(x_0),\epsilon )\in \eta (f(x_0))$ ใน $Y$
ได้ว่า $V=f^{(-1)}(Bd'(f(x_0),\epsilon ))\in \eta (x_0)$ ที่ $f(v)\in w$
จะมี $\delta >0$ ที่ $x\in Bd(x_0,\epsilon )\subseteq v $
$f(x)\in f(Bd(x_0),\epsilon ) \subseteq f(v) = f(f^{(-1)}(Bd'(f(x_0),\epsilon ))=Bd'(f(x_0),\epsilon) $
สรุป $f$ ต่อเนื่องที่ $x_0$


Proof
ข้อ 3 ไป ข้อ 2
ให้ข้อ 3 เป็นจริง
ได้ว่ามี $v\in \eta (x_0)$ ใน $X$ มีเซตเปิด $G$ ใน $X$
ที่ $x_0 \in G \subseteq v$ จาก $f^{(-1)}(w)\in \eta (x_0)$ ใน $X$ ได้ว่า
มี $x_0 \in G \subseteq f^{(-1)}(w)$
$\therefore f(v)\subseteq w$

Proof
ข้อ 1 ไป ข้อ3
ให้ข้อ 1 เป็นจริง
ให้ $\epsilon > 0$ จะได้ว่า $Bd'(f(x_0),\epsilon )\in \eta (f(x_0))$ ใน $Y$
จะได้ว่า $w=f^{(-1)}(Bd'(f(x_0),\epsilon ) \in \eta (x_0)$ ใน $X$
จะมี $\delta > 0$ ที่ $x \in Bd(x_0,\delta )\subseteq w $
$x \in Bd(x_0,\delta) \subseteq f(x) \in Bd'(f(x_0),\epsilon ) \subseteq w$
$x \in f^{(-1)} (Bd'(f(x_0),\epsilon ) \subseteq f^{(-1)} $
$\therefore f^{(-1)}(w) \in \eta (x_0)$ ใน $X$

[Lekkoksung]

เจ้า $\eta$ นี่คืออะไรอะครับ

[Pattern&Math]

เนเบอฮูด ครับ