คำตอบ สำคัญน้อยกว่า ความเข้าใจ 2

[share]

มีโจทย์ว่า จงแก้สมการ x^3 = 8

แล้วมีคนไปดูคะแนน พบว่า คะแนนเต็ม 10
มีคนได้คะแนน 10 บ้างได้ 2 บ้าง ได้ 4 บ้าง
ทั้ง ๆ ที่ทุกคนตอบว่า x=2

ถามว่า ทำไมจึงเกิดเหตุการณ์เช่นนี้ (ไม่ใช่ถามแบบ กวน ๆ นะครับ)
กรุณาใช้เหตุผลอธิบายหน่อยครับ

[armpakorn]

วิธีทำผิด แต่คำตอบดันออกมาถูกรึเปล่าครับ

[share]

วิธีทำ จะว่าผิด ก็ไม่ใช่ จะว่าถูก ก็ตอบไม่ได้เต็มปากนัก
ลองคิดดี ๆ คุณจะชมใครว่า เก่ง ขึ้นอยู่กับอะไรบ้างครับ
โจทย์ของผมที่นำเสนอ หวังให้เกิดการรู้จักคิด (คิดเป็น คิดอย่างไร) รู้จักพิจารณาเงื่อนไขต่าง ๆ ที่อาจเกิดได้จริงในชีวิตประจำวัน

มีเรื่องขำขันที่เคยอ่าน

พ่อ อ้าวลูก ทำไมไม่ไปโรงเรียนครับ
ลูก ก็พ่อเคยบอกให้อยู่ไกล ๆ คนไม่ดีนิคะ
พ่อ ใช่ ๆ แล้วที่โรงเรียน มีคนไม่ดีหรือ
ลูก ใช่ค่ะ ครูหนูเอง
พ่อ ทำไมไปว่า คุณครูอย่างนั้นครับ
ลูก จริง ๆ นะคะ อาทิตย์ก่อนสอนหนูว่า 5+5 = 10 ต่อมาสอน 1+9 = 10
วันก่อนว่า 2+8 = 10 เมื่อวานสอน 3+7 = 10 พูดไม่จริงเลยค่ะ

[share]

ถ้าทำดังข้างล่างนี้ คะแนนเต็ม 10 มีคนได้คะแนน 10, บ้างได้ 2, บ้าง ได้ 4 อยากทราบว่า ทำไมผู้ตรวจให้คะแนนเช่นนั้น

x^3 = 8
x.x.x = 2.2.2
ถอดรากที่สามทั้งสองข้าง
x = 2

[share]

สวัสดีครับ เพื่อน ๆ

ไม่มีใครตอบคำถามเดิม เลยขอเปลี่ยนคำถามใหม่ว่า

การถอด root ในคณิตศาสตร์ มีผลอย่างไรต่อคำตอบที่จะได้

[monoguy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ share

สวัสดีครับ เพื่อน ๆ

ไม่มีใครตอบคำถามเดิม เลยขอเปลี่ยนคำถามใหม่ว่า

การถอด root ในคณิตศาสตร์ มีผลอย่างไรต่อคำตอบที่จะได้

ผมยกนิยามมาเล่าให้ฟังก่อนแล้วกันนะครับ


รากที่สองของ 9 คือ "จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ 9"
จากความหมายข้างบนจะเห็นว่าตอบได้ทั้ง 3 และ -3 ครับ

รากที่สามของ 8 คือ "จำนวนที่ยกกำลังสามแล้วได้ 8"
ซึ่งเดาได้ไม่ยากว่า $2^3=8$ ดังนั้น 2 จึงเป็นรากที่สองของ $8$ ด้วย


จากตัวอย่างทั้งสองเรายังไม่ได้ข้อสรุปเลยว่า นี่ คือ รากที่สองของ 9 และ รากที่สามของ 8 ทั้งหมดที่มีแล้วหรือยัง คำตอบตรงนี้ก็ขึ้นอยู่กับผู้เรียนและผู้ถามครับว่า พูดถึงรากที่สองที่เป็นจำนวนจริงอย่างเดียว หรือรากที่สองที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ถ้าพูดถึงจำนวนจริงอย่างเดียว คำตอบข้างบนก็ถูกต้องครบถ้วนแล้ว (แต่ยังไม่ได้พิสูจน์นะครับว่าครบจริง)

ในกระบวนการถอดรากที่ครบถ้วนแล้ว ควรศึกษาเรื่องจำนวนเชิงซ้อนครับ เพราะมีทฤษฎียืนยันว่ามีรากครบจริง เช่น รากที่สามของจำนวนจริง มี 3 ค่าเสมอ เป็นต้น ถ้าสนใจลองหาเรื่องเชิงขั้วในบทจำนวนเชิงซ้อนมาอ่านดูนะครับ


ส่วนคำถามที่เพิ่งถามไปว่าถอดราก ถ้าเอาง่ายๆ เป็นสูตร แบบไหนถูกแบบไหนผิด
- ดูก่อนว่าถามถึงรากจำนวนจริง หรือจำนวนเชิงซ้อน อันนี้สำคัญมาก
- ถ้าเป็นรากจำนวนจริง รากคู่จะมี 2 รากเสมอ เป็นค่าบวกกับค่าลบ เช่น
รากที่สองของ 9 มี 3 กับ -3
ดังนั้นถ้าต้องการรากคู่ของจำนวนจริง $x^2=9$ ถอดรากแล้วจะเหลือ $|x|=3$ ไม่ใช่ $x=3$
ถ้าเป็นรากคี่ของจำนวนจริง จะมีค่าเดียว โดยจะมีเครื่องหมายเดียวกับก่อนถอดราก
- ถ้าเป็นรากจำนวนเชิงซ้อน ให้เปลี่ยนเป็นเชิงขั้วก่อนแล้วค่อยลงมาคำนวณราก

[monoguy]

เสริมอีกนิดครับว่า $\sqrt{x}$ เนี่ยเรียกว่ารากที่สองที่เป็นบวกของ $x$ แต่มักลดทอนแล้วอ่านกันแค่ รากที่สองของ $x$ จึงสับสนว่าบางทีมี 2 คำตอบบ้าง บางทีมี 1 คำตอบบ้าง