calculus นิิดหน่อยครับ

[Slow_Math]

ข้อ 6,7 ในลิ้งค์ http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra26p04.shtml รวมถึงหนังสือบางเล่มได้กล่าวว่า
$$\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2} }= \ln |u+\sqrt{u^2+a^2}|+C $$

และ $$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2} }= \ln |u+\sqrt{u^2-a^2}| +C $$

แต่้เมื่อผมทำแล้ว เช่น ข้อ 6 ให้ $u=atan \theta$
$$\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2} } =\int \frac{a\sec^2 \theta d\theta}{a\sec \theta}=\int \sec \theta d\theta= \ln |\sec \theta +\tan \theta|+C$$

ซึ่งแทนกลับไปแล้วมันจะได้เท่ากับ $$\ln |\frac{u+\sqrt{u^2+a^2}}{a}|+C$$

[nooonuii]

$-\ln |a|$ ถูกตัว $C$ ดูดไปครับ เพราะเป็นค่าคงที่

[Slow_Math]

มีปัญหาอีกนิดหน่อยครับ พี่
$$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1} } $$

my solution : ให้ $x+1 = \frac{1}{t} , dx = \frac{-dt}{t^2} $

จะได้ว่า $$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1} } = \int \frac{-dt}{\sqrt{t^2-t+1} }= \int \frac{-dt}{\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3} }{2})^2 } } $$

ซึ่งจะได้เท่ากับ $-\ln |(t-\frac{1}{2})+\sqrt{t^2-t+1}|+C$

คือผมแทนกลับแล้วจัดรูปมันไม่ได้เท่ากับ http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra26p11.shtml อะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slow_Math

มีปัญหาอีกนิดหน่อยครับ พี่
$$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1} } $$

my solution : ให้ $x+1 = \frac{1}{t} , dx = \frac{-dt}{t^2} $

จะได้ว่า $$\int \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1} } = \int \frac{-dt}{\sqrt{t^2-t+1} }= \int \frac{-dt}{\sqrt{(t-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3} }{2})^2 } } $$

ซึ่งจะได้เท่ากับ $-\ln |(t-\frac{1}{2})+\sqrt{t^2-t+1}|+C$

คือผมแทนกลับแล้วจัดรูปมันไม่ได้เท่ากับ http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra26p11.shtml อะครับ

ผมลองหาอนุพันธ์กลับแล้วมันได้เท่ากันนะครับ แสดงว่าคำตอบถูกแล้ว

ลองแทนค่าใหม่อีกรอบดูสิครับ

คำตอบไม่จำเป็นต้องเหมือนกันทุกประการครับ

แต่ถ้าเอาสองคำตอบมาลบกันจะต้องได้ค่าคงที่

ลองทำดูว่าได้อย่างที่ผมบอกหรือเปล่า

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมลองหาอนุพันธ์กลับแล้วมันได้เท่ากันนะครับ แสดงว่าคำตอบถูกแล้ว

ลองแทนค่าใหม่อีกรอบดูสิครับ

คำตอบไม่จำเป็นต้องเหมือนกันทุกประการครับ

แต่ถ้าเอาสองคำตอบมาลบกันจะต้องได้ค่าคงที่

ลองทำดูว่าได้อย่างที่ผมบอกหรือเปล่า

แล้วถ้า คำตอบมีหลายรูปแบบ เวลาอาจารย์เช็คคำตอบ นี่ ส่วนมากเขาเช็คจาก solution รึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slow_Math

แล้วถ้า คำตอบมีหลายรูปแบบ เวลาอาจารย์เช็คคำตอบ นี่ ส่วนมากเขาเช็คจาก solution รึเปล่าครับ

อาจารย์จะต้องมีรูปแบบของคำตอบหลายรูปแบบเอาไว้เช็คครับ

แต่เรียนระดับปริญญาตรีข้อสอบเติมเฉพาะคำตอบจะหมดไปแล้วสำหรับวิชาคณิตศาสตร์

ถ้าเราทำถูกต้องทุกอย่างอาจารย์สามารถตรวจสอบวิธีคิดและให้คะแนนได้ครับ

[Slow_Math]

$$\int \log(1+x^2) dx$$

ผมได้ $x\log (1+x^2)-2x(\log e) +2\arctan x(\log e)+C$

คือในเฉลยมันเป็น $x\log (1+x^2)-2x +2\arctan x+C$

my solution :

Integral by parts : $u = \log(1+x^2) , dv=dx$
$du =\frac{ 2x(\log e)dx}{1+x^2} , v=x$

$$\int \log(1+x^2) dx = x\log (1+x^2)-2\log e \int(1- \frac{1}{1+x^2})dx =x\log (1+x^2)-2x(\log e) +2\arctan x(\log e)+C$$

เพราะว่า $d(\log_ax) = \frac{dx}{x\ln a} $ เมื่อ $a=10$ จะได้ว่า $d(\log x) = \frac{(\log e) dx}{x} $

[nooonuii]

บางครั้ง $\log x$ ของฝรั่งจะหมายถึง $\ln x$ ครับ

ถ้าคิดตามนี้คำตอบก็ตรงกันครับ

[Slow_Math]

ถามอีกข้อครับ

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2n}}{x^2+1} \,dx $$