รวมโจทย์จากกระทู้เก่าๆ ไว้ดูเล่น

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

1.กำหนดให้ A = {a | เส้นตรง y = ax ไม่ตัดกราฟ $y^2 = 1 + x^2$}
และ B = {b | เส้นตรง y = x + b ตัดกราฟ $y^2 = 1 - x^2$ สองจุด
เซต {d | $d = c^2$ , c อยู่ใน B - A} เท่ากับช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1. (0 , 1)
2. (0 , 2)
3. (1 , 2)
4. (0 , 4)

Solution

$A;$

ให้ $a\cup a'=U,a\cap a'=\varnothing $

$y=a'x$ ตัด $y^2=1+x^2$

$a'^2x^2=1+x^2$

$(a'^2-1)x^2-1=0$

ตัดกันจึงได้ว่าสมการมีคำตอบ

$x=\frac{0\pm \sqrt{0+4(a'^2-1)} }{2(a'^2-1)} =\pm \frac{2\sqrt{(a'^2-1)} }{2(a'^2-1)} =\pm \frac{\sqrt{(a'^2-1)} }{a'^2-1} $

$a'^2-1>0$

$a'^2>1$

$a'\in \mathbf{R} -(-1,1)$

$\therefore a\in (-1,1)$

----------------------------------------

$B;$

$(x+b)^2=1-x^2$

$x^2+2bx+b^2=1-x^2$

$2x^2+2bx+(b^2-1)=0$

$4b^2-4(2)(b^2-1)> 0$

$b^2-2b^2+2>0$

$b^2< 2$

$b\in (-\sqrt{2} ,\sqrt{2} )$

-----------------------------------

$B-A = (-\sqrt{2} ,-1) \cup (1, \sqrt{2})$

$d=c^2$ อยู่ในช่วง $(1,2)$

2.จงหาค่าของ $\lim_{x \to \infty}{(8^{n}+4^{n})}^{\frac{1}{3}}-2^{n}$

Solution

$\qquad = \lim_{x \to \infty}({(8^{n}+4^{n})}^{\frac{1}{3}}-2^{n})

\left(\,\frac{{{(8^{n}+4^{n})}^{\frac{2}{3}}+{(8^{n}+4^{n})}^{\frac{1}{3}}2^{n}+2^{2n}}}{{{(8^{n}+4^{n})}^{\frac{2}{3}}+{(8^{n}+ 4^{n})}^{\frac{1}{3}}2^{n}+2^{2n}}}\right) $

$ \qquad = \lim_{x \to \infty}(\frac{{(8^{n}+4^{n})}-2^{3n}}{{(8^{n}+4^{n})}^{\frac{2}{3}}+{(8^{n}+4^{n})}^{\frac{1}{3}}2^{n}+2^{2n}} )$

$ \qquad = \lim_{x \to \infty}(\frac{{4^{n}}}{{(8^{n}+4^{n})}^{\frac{2}{3}}+{(8^{n}+4^{n})}^{\frac{1}{3}}2^{n}+2^{2n}} )$

$ \qquad = {\frac{1}{3}}$

3.มีจำนวนเต็มคู่ซึ่งน้อยกว่า 8,000 กี่จำนวน โดยที่เเต่ละจำนวนเป็นเลข 4 หลักเเละเเต่ละหลักใช้ตัวเลขโดด 1,5,6,8 หรือ 9

Solution

หลักพันใส่ได้ 3 ตัว คือ 1,5,6

หลักร้อยใส่ได้ 5 ตัว

หลักสิบใส่ได้ 5 ตัว

หลักหน่วยใส่ได้ 2 ตัว

รวม 2x5x5x3=150 จำนวน

4.จงหาค่า x ที่ $0\leqslant x\leqslant 2\pi $ และ $sinx+cosx\geqslant -1$

Solution

$sinx+\sqrt{1-sin^2x} \geqslant -1$

$-(sinx+1)\leqslant \sqrt{1-sin^2x} $

$- \sqrt{1+sinx} \leqslant \sqrt{1-sinx} $

$\sqrt{1-sinx} - \sqrt{1+sinx} \geqslant 0$

$sinx \leqslant 0$

$x\in [\pi ,2\pi ]$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

5.f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย $f(n)=n2^{-n},n\in \mathbf{Z} $ จงหาค่าของ $ \sum_{n = 1}^{10}f(n)$

Solution

$ \sum_{n = 1}^{10}f(n)=S=\frac{1}{2} +\frac{2}{4} +\frac{3}{8}+...+\frac{10}{1024} ...(1)$

$2S=1 +\frac{2}{2} +\frac{3}{4}+...+\frac{10}{512} ...(2) $

$(2)-(1);$

$S=[1+\frac{1}{2} +\frac{1}{4}+...+\frac{1}{512} ]-\frac{10}{1024}$

$=[\frac{1(1-\frac{1}{2^9})}{1-\frac{1}{2}}]-\frac{10}{1024}$

$=\frac{1022}{512} -\frac{10}{1024}$

$=\frac{2034}{1024} =\frac{1017}{512} $

6.กำหนดให้ $1+2i$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ $x^4-2x^3+9x^2-8x+20=0$ จงหาผลบวกขนาดคำตอบทั้งหมดของสมการนี้

Solution

$1+2i$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ จะได้ว่า $1-2i$ เป็นอีกคำตอบของสมการด้วย

ให้ a,b เป็นอีก 2 คำตอบที่เหลือ

เนื่องจากผลบวกคำตอบของสมการเป็น 2 จะได้ว่า $(1+2i)+(1-2i)+a+b=2$

ดังนั้น $a+b=0$

จะได้ว่า $a,b$ เป็นจำนวนจินตภาพและเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน

ให้ $a=mi$ แทนลงไปในสมการ

$m^4+2m^3i-9m^2-8mi+20=0$

$(m^4-9m^2+20)+(2m^3-8m)i=0$

$m^4-9m^2+20=0$

$(m^2-4)(m^2-5)=0$

$(m+2)(m-2)(m^2-5)=0$

$m=\pm 2,\pm \sqrt{5} $

แต่เมื่อแทน $m=2$ ลงใน $2m^3-8mi=0$ จะได้ $a=0$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนจินตภาพ

ดังนั้น $a=\pm \sqrt{5} ,b=\mp\sqrt{5} $

ผลบวกขนาดคำตอบ คือ $4\sqrt{5} $

7.ให้ $u=2i-3i+4k$ และ $v=i+j-k$ จงหาขนาดของ $2(u\cdot v)(u\times v)$

Solution

$u\cdot v=2-3-4=-5$

$u\times v=\vmatrix{i & j & k \\ 2 & -3 & 4 \\ 1 & 1 & -1}=-i+6j+5k$

$2(u\cdot v)(u\times v)=-10(-i+6j+5k)=-10\sqrt{1^2+6^2+5^2} =-10\sqrt{62} $

ขนาดของ $2(u\cdot v)(u\times v)=10\sqrt{62} $

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

8.พจน์ที่เป็นค่าคงตัวจากการกระจาย $(tanx+cotx)^8$ มีค่าเท่าใด

Solution

จากทฤษฎีบททวินาม

พจน์ที่ $r+1$ ของ $(a+b)^n=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$

ดังนั้น พจน์ค่าคงตัวคือ พจน์ที่ 3 :$\binom{8}{4}tan^{4}cot^4=\binom{8}{4}$

9.กำหนดให้ $a_n$ เป็นลำดับเลขคณิตโดยที่ $a_7=2619,a_{11}=2551$ ค่าต่ำสุดของ $\left|\,a_k+a_{k+1}\right|$ มีค่าเท่าใด

Solution

$a_{11}=a_7+4d$

$\therefore 4d=2551-2619=-68$

$d=-17$

ค่าต่ำสุดของ $\left|\,a_k\right|=2551-17(150)=1$

$\left|\,a_k+a_{k+1}\right|=\left|\,2a_k+d\right|=17-2=15$

10.ถ้า W คือคำตอบที่เป็นจำนวนจินตภาพคำตอบหนึ่งของ $Z^5 = 1$ แล้วคำตอบ $(1+w-w^2+w^3+w^4)\times (1+w+w^2-w^3+w^4)$

Solution

จากโจทย์จะได้ว่า $ w^5=1$

$(1+w-w^2+w^3+w^4)\times (1+w+w^2-w^3+w^4)$

= $(1+w+w^2+w^3+w^4-2w^2)(1+w+w^2+w^3+w^4-2w^3)$

= $4w^5$

= $4$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

11. ค่าของ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{k}}{1 + 8 + 27 + ... + n^{3}}$ เท่ากับเท่าไร

Solution

ลิมิตจะหาค่าได้ เมื่อ ลำดับคอนเวอร์เจนท์
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{k}}{1 + 8 + 27 + ... + n^{3}}$

$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{k}}{\frac{n^2(n+1)^2}{4} }$

$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8n^{k}}{n^4+2n^3+n^2}$

$=8,0$

เมื่อ $k=4,k<4$

12.กำหนด $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^4-n^2} = A$ จงหาค่าของ $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Solution

$\frac{1}{n^4-n^2}=\frac{1}{n^2(n^2-1)}=\frac{1}{n^2-1}-\frac{1}{n^2}$

ดังนั้น $ \sum_{n = 2}^{\infty}( \frac{1}{n^4-n^2}) = \sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{n^2 -1} - \frac{1}{n^2})$

$A = \sum_{n = 2}^{\infty}( \frac{1}{n^2 -1}) - \sum_{n = 2}^{\infty}(\frac{1}{n^2})$

$\therefore \sum_{n = 2}^{\infty}(\frac{1}{n^2}) = \sum_{n = 2}^{\infty}( \frac{1}{n^2 -1}) - A$


พิจารณา $\sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{n^2 -1})$

$\sum_{n = 2}^{\infty}( \frac{1}{n^2 -1})$ = $\sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{2}[\frac{1}{n -1} - \frac{1}{n +1} ])$

$= \frac{1}{2}[(\frac{1}{1} -\not\frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} -\not\frac{1}{4}) + (\not\frac{1}{3} -\not\frac{1}{5}) + ... )] $

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{1} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$


$\therefore \sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{n^2}) = \frac{3}{4} - A $

13.ถ้า $z^{4} + 1 = 0$ แล้ว $|z + \frac{1}{z}|^{2}$ เท่ากับเท่าไร

Solution

$z^{4} + 1 = 0$

หารด้วย $z^2$ ตลอด

$z^2+\frac{1}{z^2} =0$

$(z+\frac{1}{z})^2-2=0$

$z+\frac{1}{z}=2$

$|z + \frac{1}{z}|^{2}=4$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

10. ค่าของ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{k}}{1 + 8 + 27 + ... + n^{3}}$ เท่ากับเท่าไร

ลิมิตจะหาค่าได้ เมื่อ ลำดับคอนเวอร์เจนท์(ลู่เข้าใกล้จำนวนจริงบวก)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{k}}{1 + 8 + 27 + ... + n^{3}}$

$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{k}}{\frac{n^2(n+1)^2}{4} }$

$=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8n^{k}}{n^4+2n^3+n^2}$

$=8$

เมื่อ $k=4$

เป็น $0$ ก็ได้นะครับ เมื่อ $k<4$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

เป็น $0$ ก็ได้นะครับ เมื่อ $k<4$

แก้แล้ว ขอบคุณมากครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

14.ให้ $A = \bmatrix{4 & a\\ b & c}$ โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็ม ถ้า $(A+I)^3 = 3A+I$ และ $det(A+3I)\not= 0 $ แล้วเมทริกต์ A ที่มีสมบัติเช่นนี้มีกี่เมทริกต์

Solution

$(A+I)^3 = 3A+I$

$A^3+3A^2I+3AI^2+I^3=3A+I$

$A^3+3A^2=$0

$A^2(A+3I)=$0

$[detA]^2det(A+3I)=0$

$[detA]^2=$0 หรือ $det(A+3I)=0$

แต่ $det(A+3I)\not= 0 $

ดังนั้น $detA=0$

จะได้ว่า $4c=ab$ ซึ่งมี $(a,b,c)$ ที่สอดคล้องอยู่อนันต์สามสิ่งอันดับ

แต่จากเงื่อนไข $det(A+3I)\not= 0 $

ทำให้ได้ว่า $7(c+3)\not= ab$

$7(c+3)\not= 4c$

$c\not= -7$

15.จำนวนจริง a ซึ่งทำให้เมทริกต์ $A= \bmatrix{1 & 1&1\\ 1 &a &1\\1&1&a^2} $มีสมบัติว่า $det(A^{10})= 1$ มีทั้งหมดกี่จำนวน

Solution

$det(A^{10})=[detA]^{10}= 1$

$detA=1,-1$

เนื่องจาก $detA=a^3-a^2-a+1=1,-1$ ดังนั้น

$a^3-a^2-a=0$ หรือ $a^3-a^2-a+2=0$

$a(a^2-a-1)=0$ หรือ $a^3-a^2-a+2=0$

ทำให้ได้ว่ามีจำนวนจริง a ทั้งสิ้น 6 จำนวน

16.ให้ A =\(\bmatrix{sin\theta & 0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&cos\theta &0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&tan\theta &0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&cos\theta &0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&cos\theta&0 \\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1}\) และ det(adj) = $\frac{1}{262144}$ โดย $\theta \in \bmatrix{0,& \frac{\pi }{2}}$ จงหาค่าของ $M_{33}(A^t)$

Solution

$detA=sin^2\theta cos^2\theta $

เนื่องจาก $detA^{-1}=\frac{1}{detA}adjA$

$det(adjA)=(detA)^{n-1}=(sin^2\theta cos^2\theta)^9 =\frac{1}{4^9} $

$sin^2\theta cos^2\theta=\frac{1}{4} $

$4sin^2\theta cos^2\theta=1 $

$(2sin\theta cos\theta)^2=1 $

$(sin2\theta )^2=1$

$sin2\theta =1,-1$

$2\theta =\frac{\pi}{2} $

$\theta =\frac{\pi}{4} $

$M_{33}(A^t)=M_{33}(A)=sin\theta tan\theta cos^2\theta =\frac{1}{\sqrt{2} }(1)(\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{2} }$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

17.ถ้า $0 < \theta < \frac{\pi }{6} และ sin\theta + cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{2} ค่าของ tan\frac{\theta }{2}$ เท่ากับเท่าใด

Solution

$sin\theta + cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$

$(sin\theta +cos\theta )^2=\frac{7}{4}$

$1+2sin\theta cos\theta =\frac{7}{4}$

$2sin\theta cos\theta =\frac{3}{4}$

$\sin \theta = \frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1+\tan^2 \frac{\theta }{2}} $

$\cos \theta = \frac{1-\tan^2\frac{\theta }{2}}{1+\tan^2\frac{\theta }{2}}$

$\therefore 2\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1+\tan^2 \frac{\theta }{2}} \frac{1-\tan^2\frac{\theta }{2}}{1+\tan^2\frac{\theta }{2}}=\frac{3}{4}$

ให้ $\tan \frac{\theta }{2}=x$ จะได้ว่า

$\frac{4x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}= \frac{3}{4}$

$16x(1-x^2)=3(x^4+2x^2+1)$

$16x-16x^3=3x^4+6x^2+3$

$3x^4+16x^3+6x^2-16x+3=0$

คงต้องพึ่ง wolframalpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i...3%3D0&dataset=

ที่เหลือก็พิจารณาค่าที่เป็นไปได้เมื่อมุมอยู่ในช่วงที่โจทย์กำหนดครับ

18. กำหนดให้ f(x) =$\left|\,x^2+4x\right|$ และ g(x) = $\left|\,x^2-16\right|$ถ้า a,b เป็นคำตอบทั้งสองของสมการ f(x) = g(x) แล้ว $\lim_{x \to \ a}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ + $\lim_{x \to \ b}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ เท่ากับเท่าไหร่

Solution

$\left|\,x^2+4x\right|=\left|\,x^2-16\right|$

$\left|\,x(x+4)\right|=\left|\,(x+4)(x-4)\right|$

$(Note:x=-4)$

$\left|\,x\right|=\left|\,x-4\right|$

$x^2=x^2-8x+16$

$x=2$

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\left|\,x^2+4x\right|}{\left|\,x^2-16\right|}=\frac{\left|\,x\right|}{\left|\,x-4\right|}$

$\lim_{x \to \ a}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ + $\lim_{x \to \ b}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$

$=\lim_{x \to \ 2}$ $\frac{\left|\,x\right|}{\left|\,x-4\right|}$ + $\lim_{x \to \ -4}$ $\frac{\left|\,x\right|}{\left|\,x-4\right|}$

$=1.5$

19.ถ้า $f(x) = 3x^2+2x$ และ $\int[f(x)+g(x)]dx$ =$x^5+C$ แล้ว $\int g(x)dx$ คือสมการใด

Solution

$\int f(x)dx=3(\frac{x^3}{3} )+2(\frac{x^2}{2})=x^3+x^2$

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx=x^3+x^2+\int g(x)dx= x^5+C$

$\therefore \int g(x)dx=x^5-x^3-x^2+C$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$20.\lim_{n \to \infty} n\sin \frac{1}{n} $ มีค่าเท่าใด

Solution

$\lim_{n \to \infty} n\sin \frac{1}{n} $

$=\lim_{\frac{1}{n} \to 0} \frac{sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$

$=1$

21.กำหนด $A = \bmatrix{1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$

และ $B = I + A + A^{2} + ... + A^{n}$

ถ้า $detB = 10^{8}$ แล้ว จงหาค่าของสมาชิกที่มีค่ามากที่สุดของ $B$

Solution

$A^n = \bmatrix{1 & 0 & n & 0 \\ 0 & 1 & 0 & n \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$

$B=\bmatrix{ n & 0 & \frac{n(n+1)}{2} & 0 \\ 0 & n & 0 & \frac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & n }$

$detB=n^4=10^8$

$n=10^2$

สมาชิกที่มากที่สุดของ $B$ คือ $\frac{100(101)}{2}=5050$

22.จงหาพจน์ทั่วไปของ$a_n$ของลำดับต่อไปนี้ โดยที่ $S_n$คือผลบวกพจน์เเรก ในกรณีที่ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับเลขคณิต จงหาผลต่างร่วม

$S_n = n^2-n+1$

Solution

$a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2-n+1]-[(n-1)^2-(n-1)+1]=2n-1-1=2n-2$

$a_{n-1}=2(n-1)-2=2n-4$

ดังนั้นผลต่างร่วมเป็น 2

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

23.$\frac{1-\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} +...}{1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} +...} มีค่าเท่าใด$

Solution

$1-\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} +...=(1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} +...)-2(\frac{1}{2^2} +\frac{1}{4^2} +...)$

$\frac{1-\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} +...}{1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} +...} =\frac{(1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} +...)-2(\frac{1}{2^2} +\frac{1}{4^2} +...)}{1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} +...} =1-2(\frac{1}{4} )=\frac{1}{2} $

24.จงหาค่า x ที่สอดคล้องกับสมการ $2(2^y + 4^y ) = 3^y -6^y +9^y$ และ $log_\frac{2}{3}x + y = 1$

Solution

$2(2^y + 4^y ) = 3^y -6^y +9^y$

$2(2^y +4^y+ 6^y ) = 3^y +6^y +9^y$

$2(2^y)(1+2^y+3^y)=3^y(1+2^y+3^y)$

$(\frac{2}{3})^y=\frac{1}{2}...(1)$

$log_\frac{2}{3}x + y = 1$

$[\frac{2}{3}]^{1-y}=x$

$\frac{\frac{2}{3}}{(\frac{2}{3})^y}=x$

$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}}=x$

$x=\frac{4}{3}$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

25. จงหาจำนวนเชิงซ้อน $x+iy$ ทั้งหมดที่ $x$ และ$y$ สอดคล้องกับสมการ $log_2(2^yx) -3i = 2 + ilog_2(x^y)$

Solution

$log_2(2^yx) -3i = 2 + ilog_2(x^y)$

$2+3i=log_2(2^yx)-log_2(x^y)i$

$log_2(2^yx)=2...(1)$

$log_2(x^y)=-3...(2)$

จาก $(1);2^yx=4...(3)$

จาก $(2);x^y=8^{-1}...(4)$

จาก $ (3);ylog2+logx=2log2...(5)$

จาก $(4);ylogx=-3log2$

$logx=-3log2y^{-1}$ แทนลงใน $(5)$

$ylog2-3log2y^{-1}=2log2$

$y-3y^{-1}=2$

$y^2-3=2y$

$y^2-2y-3=0$

$(y-3)(y+1)=0$

$y=3,-1$

$x=2^{-1}.8$

จำนวนเชิงซ้อน $x+yi$ ได้แก่ $ 2^{-1}+3i,8-i$

26.ให้ $F(x)=f(g(x))$ ถ้า $g(x)=x^3+2x+2$ และ $\int F(x)\,dx =5x^3+2x+c$ ค่าของ $f'(5)$ มีค่าเท่าใด

Solution

$$\int F(x)\,dx =5x^3+2x+c$$
$$F(x)=15x^2+2=(f\circ g)(x)$$
$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=f'(x^3+2x+2)\cdot (3x^2+2)=F'(x)=30x$$
$$f'(x^3+2x+2)=\frac{30x}{3x^2+2}$$
$$f'(5)=\frac{30}{3+2}=6$$

27.กำหนด $f(x) = 4x^3+3x^2+x$ จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $F(x) = \int_{x}^{2}\,f(t)dt$ มีค่าสูงสุดและหาค่าสูงสุดของ $F(x)$

Solution

$$\int f(x) =x^4+x^3+\frac{x^2}{2} $$
$$F(x)=\int f(2)dx-\int f(x)dx=(16+8+2)-(x^4+x^3+\frac{x^2}{2})$$
หาค่าสูงสุด
$$F'(x)=-4x^3-3x^2-x=x(4x^2-3x-1)=x(4x+1)(x-1)=0$$
$$x=0,1,-\frac{1}{4} $$
ให้ค่าสูงสุดเมื่อ $x=0,F(x)=26$