สมการกำลังสาม ช่วยโจทย์ข้อนี้หน่อยครับ

[sooppapa]

5.เซตของคู่อันดับ (a,b) ของจำนวนเต็มบาวทั้งหมดที่ทำให้สมการ x^3-12x^2+ax-2b^2=0
มีรากทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มคือเซตใด ขอบคุณครับ

[~ArT_Ty~]

เขาไม่ได้บอกนี่ครับว่า $b$ เป็นจำนวนเฉพาะ อาจจะมีคำตอบมากกว่านี้ก็ได้นะครับ

เจ้าของกระทู้มีข้อมูลเพิ่มเติมมากกว่านี้อีกมั้ยครับ??

[sooppapa]

มีแค่นี้แหละครับ ผม copy paste โจทย์ทั้งดุ้นเลย

[sooppapa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

5. เซตของคู่อันดับ (a,b) ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ที่ทำให้สมการ (x^3) - 12(x^2) + ax - (2(b^2)) = 0
มีรากทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มคือเซตใด

(x^3) - 12(x^2) + ax - (2(b^2)) = 0 = (x - 2)(x - b)(x - b)
((x^2) - bx - 2x + 2b) (x - b) = 0
(x^3) - b(x^2) - b(x^2) + (b^2)x - 2(x^2) + 2bx + 2bx - 2(b^2) = 0
(x^3) + (-b - b - 2)(x^2) + ((b^2) + 2b + 2b)x - 2(b^2) = 0

-b - b - 2 = -12
-2b = -10
b = 5
(b^2) + 2b + 2b = a
25 + 10 + 10 = a = 45

คู่อันดับ (a,b) คือ (45 , 5) และ (45 , -5)
a , b เป็นจำนวนเต็มบวก
ตอบ { (45 , 5) }

ขอบคุณมากครับ แต่สงสัยว่าน่าจะมีคำตอบอื่นอีกรึเปล่าเพราะทั้งสามวงเล็บ อาจเป็น (x - 2b)(x - b)(x - 1)
(x - 2b^2)(x - 1)(x - 1) , ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[กิตติ]

$2b^2=(2)(b)(b)=(1)(2)(b^2)=(1)(1)(2b^2)=(1)(2b)(b)$
พิจารณาผลรวมที่เกิดขึ้นของสปส. $x^2$ คือ $-(2b+2),-(3+b^2),-(2+2b^2),-(1+3b)$ จะมีเพียงกรณีที่ได้ค่า $b$ เป็นจำนวนเต็มคือ $-(2b+2),-(3+b^2)$ ได้ $b=5,b=\pm 3$ ตามลำดับ ลองเช็คขั้นต่อไปที่ค่าสปส.ของ $x$
$(x-2)(x-b)(x-b)$ สปส.ของ $x$ คือ $2b+2b+b^2$
$b^2+4b=a$ ได้ $a=45$ เป็นจำนวนเต็ม
$(x-2)(x-1)(x-b^2)$ สปส.ของ $x$ คือ $2+b^2+2b^2$
$3b^2+2=a$ ได้ $a=29$ เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้นได้คำตอบเป็น
$(x-1)(x-2)(x-9)=x^3-12x^3+29x-18$
กับ $(x-2)(x-5)(x-5)=x^3-12x^3+45x-50$

จะได้สองคำตอบคือ $(29,3),(45,5)$

[กิตติ]

มองอีกแบบหนึ่งว่า แยก $12$ ออกเป็นจำนวนเต็มสามจำนวนที่มีผลรวมเป็น $12$ และมีผลคูณทั้งสามจำนวนเป็น2เท่าของกำลังสองของจำนวนเต็ม

$12=1+1+10=1+2+ 9=1+ 3 +8 $
$=1+4+7 =1+5+6=2+2+8=2+3+7=2+4+6=2+5+5=3+3+6=3+4+5=4+4+4$
จะได้ผลคูณเป็น $10,18,24,28,30,32,42,48,50,54,60,64$
พิจารณาผลคูณเป็น2เท่าของกำลังสองของจำนวนเต็ม มีได้คือ $2,8,18,32,50,72$
ตรงกันสามจำนวนคือ $18,32,50$
จะได้ว่าคือ$12=1+2+9,2+2+8,2+5+5$
$(x-1)(x-2)(x-9)$
$(x-2)(x-5)(x-5)$
$(x-2)(x-2)(x-8)=x^3-12x^2+36x-32$
ตรงกับวิธีแรกที่หาไว้สองค่า ได้คำตอบเพิ่มอีกหนึ่งคือ $(36,4)$
โดนดักจากการพยายามแยกตัวประกอบของ $2b^2$ ออกเป็นกรณีต่างๆ ดักที่ค่า $b=4$ ที่แยกตัวประกอบออกไปได้อีก

[oKiNeSIuMo]

พิจารณา สมัประสิทธ์ และใช้อสมการ AM.-GM. จะได้ a <= 48 และ b <= 5 และก็นั่งไล่ b เอาก็ง่ายดีนะครับ