ตรีโกณมิติ

[Pich]

ช่วยพิสูจน์หนอ่ยครับว่าทำไม
ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว tan x ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

เท่าที่รู้มีทฤษฎีประมาณว่า cos(r*Pi) เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว r เป็นจำนวนอตรรกยะ ยกเว้นกรณีที่ทำให้ cos มีค่าเป็น 0,1,1/2,-1,-1/2 และรู้สึกว่าของ sin กับ tan ก็จะคล้ายๆกันน่ะ
ถ้าสนใจจะพิสูจน์ให้ดู
ลองดู partial case ของ ทบ. นี้ก่อน
- จงแสดงว่า ถ้า cos(a*Pi) = 1/3 แล้ว a เป็นจำนวนอตรรกยะ ( 1974 Putnam )

[warut]

ตามความเข้าใจของผม คิดว่าในคำถามของคุณ Pich นั้น x
มีหน่วยเป็นเรเดียนนะครับ ซึ่งผมเชื่อว่าการพิสูจน์คงต้องใช้
ความรู้ระดับสูงมาก สำหรับตอนนี้ก็คงต้องยอมรับไปก่อนว่า
มันเป็นจริง คล้ายๆกับที่นักเรียนทุกคนต้องยอมรับว่า p
เป็นจำนวนอตรรกยะโดยที่ไม่เคยเห็นการพิสูจน์นั่นแหละครับ

ว่าแต่โจทย์ Putnam ของคุณ TripleSix นี่ผมยังไม่รู้จะทำยังไงเลย

[Catt]

ข้อออกตัวไว้ก่อนว่าทำโจทย์ข้อนี้ไม่ได้เหมือนกัน
แต่เคยเรียนมา (พร้อมกับ TripleSix)
เลยขอ hint ไว้สำหรับคนที่อยากทำ
แนวทางคือใช้พหุนามที่ สปส.เป๋นจำนวนเต็ม Pn(2cosnx)=2cosnx (พิสูจน์ว่ามีPn)
แล้วสมมติว่า a เป็นตรรกยะ และ cosa*Pi = m/nเพื่อหาข้อขัดแย้ง

Happy New Year

นอกจากวิธีที่คุณ Catt ใบ้ไว้ พิจารณา cos(aPi) = 1/3
จะได้ cos(2aPi) = 2cos²(aPi) - 1 = -7/9
ถ้าทำต่อจะพบว่า cos(2ⁿaPi) = a_n / 3^{2^n}
โดยที่ a_n เป็นจำนวนเต็ม และ 3 หาร a_n ไม่ลงตัว
ดังนั้น cosx, cos2x, cos4x, cos8x, ... จึงแตกต่างกันทั้งหมด ซึ่งเป็นไปไม่ได้ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะ

[Pich]

ครับค่า x นั้นมีหน่วยเป็นเรเดียน
----
วิธีของพี่ Catt ช่วยอธิบายเพิ่มหน่อยครับ

[Catt]

วิธีที่บอกไว้นั้นต้องใช้ทฤษฎีเกี่ยวกับพหุนามที่มีรากเป็นจำนวนตรรกยะด้วย
สุดท้ายเราจะได้ว่า cos(r*Pi) เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว r เป็นจำนวนอตรรกยะ ยกเว้นกรณีที่ทำให้ cos มีค่าเป็น 0,1,1/2,-1,-1/2
ฉะนั้น cos(a*Pi) = 1/3 แล้ว a ต้องเป็นอตรรกยะ

[TOP]

ในบทความเรื่องจำนวนอตรรกยะ มีกล่าวถึงเรื่องนี้เช่นกัน (สงสัยจะไม่มีใครอ่านกัน จะได้หยุดเขียนสักที หาเหตุผลใช้แทนขี้เกียจเขียนได้แล้ว )

[Pich]

ก่อนอื่นก็ต้องขอโทษครับที่ไม่ได้ดูให้ละเอียดว่ามีเรื่องนี้อยู่ พอดีจำได้ว่าไม่มีการพิสูจน์ว่าค่า p เป็นจำนวนอตรรกยะ พออ่านเจอที่อื่นก็สงสัยการพิสูจน์นี้ครับ
------------------

pเป็นจำนวนอตรรกยะจริงหรือ

ในการศึกษาเรื่องของจำนวนจริง เราแบ่งจำนวนจริงออกได้เป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมแบบไม่รู้จบแบบซ้ำได้
p เป็นจำนวนจริงที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โจนส์ (William Jones) เป็นบุคคลแรกที่นำเอาอักษรกรีก p มาใช้ โดยให้มีค่าเท่ากับ อัตราส่วนดังกล่าว ซึ่งท่านนำมาใช้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1706 ในหนังสือ A New Introduction to the Mathematics แต่ยังไม่เผยแพร่จนกระทั่ง ออยเลอย์ (Leonhard Euler) ได้นำเอาการกำหนดค่าของ p ดังกล่าวมาใช้ในงานของท่านมากมาย จนกระทั่งเป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้
ถ้าเราย้อนไปดูอดีตของความพยายามในการหาค่าของอัตราส่วนของเส้นรอบวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางเราจะพบว่าในสมัยเริ่มต้นค่านี้จะถูกประมา ณด้วย 3 ชาวอิยิปต์ให้ค่า p ไว้ เท่ากับ 3.1604 อาร์คีมีดีส (Archimedes) ได้ให้ของเขตของค่า p ไว้ว่า ค่า p จะมีค่าอยู่ระหว่าง 223/71 กับ 22/7 ซึ่งให้ความถูกต้องของค่า p ได้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2 ว่ามีค่าเท่ากับ 3.14 สำหรับวิธีที่อาร์คีมีดีสใช้เป็นวิธีการเพิ่มจำนวนรูปหลายเหลี่ยมลงในวงกลม วิธีดังกล่าวได้ถูกนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นมาปรับปรุงเพื่อใช้หาค่า p ที่ถูกต้องมากยิ่งขึ้น นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นๆ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ ในการคำนวณหาค่าของ p นอกจากความพยายามในการหาค่าที่แท้จริงของค่า p แล้วก็ยังมีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ ลัมแบร์ต (Johann Heinrich Lambert) ได้พิสูจน์ว่า p เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยที่ท่านได้แสดงการพิสูจน์ว่า ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว tan x ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก tan p /4= 1 ผลที่ตามมาก็คือ p /4 หรือ p ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
อย่างไรก็ตามจากบทความของ Dr. Tomaczewski ผู้อำนวยการ The Advanced Computer Numerics Foundation ในรัฐโคโลราโด ประเทศสหรัฐอเมริกาได้แถลงว่า สถาบันแห่งนี้ได้พัฒนาโปรแกรมในการหาค่าของ p ผลที่ได้จากเครื่องคอมพิวเตอร์พบว่า ค่าของ p นี้จะสิ้นสุดลงที่ตำแหน่ง 2,075,932,542,102 โดยที่เครื่องคอมพิวเตอร์ได้พิมพ์เลขศูนย์เป็นจำนวนหลายล้านตัวหลังจากทศนิยมในตำแหน่งดังกล่าว เขาจึงเชื่อว่า p เป็นจำนวนตรรกยะ
นักคณิตศาสตร์หลายท่านคงไม่ยอมรับการพิสูจน์ว่า [pi] เป็นจำนวนตรรกยะโดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ดังที่กล่าวมา แต่การแถลงการณ์ของ Dr. Tomaczewski ทำให้เราทราบความคืบหน้าอีกก้าวหนึ่งในวงการคณิตศาสตร์
-----------------

[TOP]

น้อง Pich ไปเอาบทความนี้มาจากไหนหรือครับ

RESEARCHERS FINALLY SLICE THE p

Computers have finally solved one of mathematics?s longest-lasting puzzles with the discovery that the mathematical constant ?p? has a finite number of decimal places.

It?s official: p ends at the 2,075,932,542,102nd decimal place, according to a mathematical theory laboratory in the United States.

Researchers were left open-mouthed last month when a computer given the onerous task of finding p?s last decimal place suddenly started printing ?millions of zeros? at the end of the ?irrational? number.

?After years of computation, using the most sophisticated programming, we have found that the number p ends at a little over the two-trillionth decimal place, thereby proving that it is indeed a rational number after all?, the Advanced Computer Numerics Foundation in Colorado announced.

?A supposed ?proof? that p was an irrational number had been kicking around academic circles literally for centuries, and everybody just bought into it without doing the real empirical nuts-and-bolts research to confirm it?, the foundation?s director, Dr Warren Tomaczewski, said in a formal statement.

?When the preliminary results started to come in, we were stunned and put the computer onto the problem full-time?, he said.

?The results were the same.

?With the advent of computers there has been an ongoing race to find the last decimal place of p and I guess it was just on the cards for us to actually do it.?

Dick Loesch, spokesman for the Advanced Computer Numerics Foundation in Colorado, was contacted later to check whether the story was correct.

?No, not at all. In fact it?s the best practical joke I?ve ever done?, said
the unrepentant American, adding, ?Have a nice day?.

[Pich]

พอดีรื้อหนังสือในห้องสมุดบังเอิญเจอหนังสือเล่มหนึ่งดูน่าสนใจเปิดเจอเรื่องนี้พอดี (พิมพ์ปี 2538)

[Pich]

จริงๆพี่ Gon พี่ Top ก็น่าลองเขียนโปรแกรมมาตรวจสอบนะครับ

[warut]

ตอนที่ผมเห็นโจทย์ของคุณ TripleSix นี่ผมก็กลับไปอ่าน
บทความของคุณ TOP ทันทีเลยนะ (เคยอ่านมาทีนึงแล้วแต่
ลืมไปแล้ว) แต่การพิสูจน์ของคุณ TOP มันเป็นกรณีทั่วไป
ซึ่งโดยปกติแล้วเนี่ยการพิสูจน์กรณีเฉพาะมันมักจะง่ายกว่า
อย่างการพิสูจน์ของคุณ <-*-> นี่ผมว่าสวยมากๆเลย แต่กว่า
จะเข้าใจได้ก็ใช้เวลาอยู่นาน เพราะคุณ <-*-> อธิบายค่อนข้าง
สั้นและมีที่ผิดเล็กน้อยอยู่ด้วยอันนึง ผมยังสงสัยว่าน้อง Pich
นี่สามารถอ่านเข้าใจได้รึเปล่า ที่ผิดที่ว่าก็คือที่คุณ <-*-> บอกว่า
"ดังนั้น cosx, cos2x, cos4x, cos8x, ... จึงแตกต่างกันทั้งหมด ซึ่งเป็นไปไม่ได้ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะ"
ที่ถูกผมคิดว่าน่าจะเป็น
ดังนั้น cos(ap), cos(2ap), cos(4ap), cos(8ap), ... จึงแตกต่างกันทั้งหมด ซึ่งเป็นไปไม่ได้ถ้า a เป็นจำนวนตรรกยะ
ส่วนการพิสูจน์ว่า p เป็นอตรรกยะนี่ผมว่าวิธีที่ง่ายที่สุดน่า
จะเป็นของ Niven ที่พิสูจน์ไว้เมื่อปี 1947 นะครับ ใช้แค่
ความรู้ calculus เบื้องต้นอย่างเดียว ยาวสัก 1-2 หน้ากระดาษ
(ขึ้นกับว่าใครเป็นคนอธิบาย) แล้วยังมีผลพลอยได้คือทำให้รู้
ว่า p² ก็เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยเช่นกัน

ตอนแรกอ่านที่คุณ warut บอกว่าผิด รู้สึกตกใจเล็กน้อยว่าทำพลาดไปได้ยังไง
จริงๆ แล้วพิมพ์ผิดเอง เพราะในกระดาษทดใช้ตัวแปรแบบนึง
เวลาพิมพ์อธิบายก็พยายามปรับตัวแปรให้เข้าใจง่าย(หรือยาก) ขึ้น เลยเป็นสองเวอร์ชั่นอย่างที่เห็น
ยังไงก็ต้องขอบคุณคุณ warut ที่แก้ให้ :-)

[TOP]

อยากอ่านการพิสูจน์ของ Niven ครับ คุณ warut ช่วยอธิบายหน่อยสิครับ (ใครเห็นด้วยยกมือขึ้น )