ข้อสอบ IWYMIC 2007

[banker]

[banker]

$m^2+1 $ is prime

$m = 1 \to \ 1^2+1 = 2 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(1^2+1) = 20 = 19 +1 \ \to \ not \ valid$

$m = 2 \to \ 2^2+1 = 5 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(2^2+1) = 50 = 49 +1 = 7^2 +1 \ \to \ valid$

$m = 4 \to \ 4^2+1 = 17 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(4^2+1) = 170 = 169 +1 = 13^2 +1 \ \to \ valid$

$m = 6 \to \ 6^2+1 = 37 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(6^2+1) = 370 = 369 +1 \ \to \ not \ valid$

$m = 10 \to \ 10^2+1 = 101 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(10^2+1) = 1010 = 1009 +1 \ \to \ not \ valid$


m = 2, n = 7

m= 4, n = 13

[Suwiwat B]

คุณ banker ครับ เเล้วเราจะพิสูจน์ได้ยังไงอะครับว่า มันมีเเค่นั้น ... ผมพยายามทำมานานละ ไม่ได้สักที

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$m^2+1 $ is prime

$m = 1 \to \ 1^2+1 = 2 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(1^2+1) = 20 = 19 +1 \ \to \ not \ valid$

$m = 2 \to \ 2^2+1 = 5 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(2^2+1) = 50 = 49 +1 = 7^2 +1 \ \to \ valid$

$m = 4 \to \ 4^2+1 = 17 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(4^2+1) = 170 = 169 +1 = 13^2 +1 \ \to \ valid$

$m = 6 \to \ 6^2+1 = 37 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(6^2+1) = 370 = 369 +1 \ \to \ not \ valid$

$m = 10 \to \ 10^2+1 = 101 \ \to \ 10(m^2+1) = 10(10^2+1) = 1010 = 1009 +1 \ \to \ not \ valid$


m = 2, n = 7

m= 4, n = 13

ผมทำแบบนี้ครับ ไม่รู้ได้รึเปล่า

$10(m^2+1)=n^2+1$

$9(m^2+1)=(n+m)(n-m)$

$9p=(9p)(1)=(3p)(3)$ ที่ทำได้เพราะ $n+m>n-m$

จนขึ้น ม.ปลาย แล้ว ของ ม.ต้น ก็ยังยากอยู่ดี

[Thamma]

ขอคำแนะนำ 2 ข้อนะคะ

ขอบคุณค่ะ

[artty60]

ข้อ9.ลากเส้นเพิ่มแล้วหาสามเหลี่ยมคล้ายให้เจอแล้วอ้างอิงกับเลข1ที่โจทย์ให้มาครับ

[gon]

ข้อ 12. ผมใช้ mod เขียนแล้วกันนะครับ เพราะกะทัดรัดดี

solution99.99%

สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ เช่น ถ้า $n = \overline{abc} $ จะได้ว่า $n = 100a + 10b + c \equiv (a+b+c) \mod 9$

สมมติให้ $S = a+b+c$ แล้วจะได้ว่า $n \equiv S \mod 9$

แต่ถ้า $x^2 = n = \overline{abc}$ แล้วจะได้ว่า $x^2 \equiv S\mod 9$

นั่นคือ $S \equiv x^2\mod 9$

กรณีที่ 1. ถ้า $x = 9k$ ดังนั้น $S \equiv 0 \mod 9$

กรณีที่ 2. ถ้า $x = 9k+1$ ดังนั้น $S \equiv 1 \mod 9$

กรณีที่ 3. ถ้า $x = 9k+2$ ดังนั้น $S \equiv 4 \mod 9$

กรณีที่ 4. ถ้า $x = 9k+3$ ดังนั้น $S \equiv 0 \mod 9$

กรณีที่ 5. ถ้า $x = 9k+4$ ดังนั้น $S \equiv 7 \mod 9$
...

กรณีที่ 9. ถ้า $x = 9k+8$ ดังนั้น $S \equiv 1 \mod 9$

แสดงว่า S จะต้องเป็นจำนวนที่หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 0, 1, 4, 7 เท่านั้น

นั่นก็คือ S ที่เป็นไปได้คือ 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16, 18, 19, 22, ...

ที่เหลือก็นับไม่ยาก แล้วครับ.

Note. ถ้า $x = 10^m - 1, 10^m - 2, 10^m - 3, 10^m - 5$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ ใด ๆแล้วจะได้ว่า $S \equiv 0, 1, 4, 7 \mod 9$ ตามลำดับ

ปล. เฉลยคำตอบในเว็บ taimc ดูเหมือนจะพิมพ์ผิดไปหนึ่งตัวนะครับ ลองตรวจสอบตัวเลขอีกครั้ง

[Thamma]

ข้อ 9. ยังคิดไม่ออกค่ะ ต้องลากเส้นไหนคะ

ข้อ 12. ตอบ 892 ใช่ไหมคะ

ขอบคุณค่ะ

[artty60]

$ลากเส้น AC และ BC ครับ \,ถ้ายังหาสามเหลี่ยมคล้ายไม่เจอค่อยเปิดดูต่อ$

HINT2

$จุด P และ Q เป็นจุดศก.วงกลม2วงตัดกัน$

$จะได้ \triangle ABC\sim \triangle ADP\sim BDQ$

[Thamma]

ขอบพระคุณ คุณ Artty60 มากค่ะ

ที่จริง ได้ลองลากเส้น CG, CB และวาดวงกลมที่มี Q เป็นจุดศูนย์กลางมาแล้ว แต่ทำเพียงด้านเดียวเพราะเห็นว่าโจทย์ให้หา BD ทำให้ไม่เห็น $\triangle ABC$

คุณ Artty60 ได้กรุณาให้รายละเอียดแล้ว
การพิสูจน์สามเหลี่ยมคล้ายใช้หลัก ขนาดมุมที่จุดศูนย์กลางเป็น 2 เท่าของมุมที่เส้นรอบวงบนส่วนโค้งเดียวกัน

ตอบ $BD = \frac{1}{\sqrt{19}}$

[Amankris]

#22
คุณ gon ยังขาดประเด็นหลักนะครับ

เรายังไม่รู้เลยนะครับว่า "มี square ที่ได้ผลรวมเท่านั้นจริงหรือไม่"