งงตรีโกณอะครับ

[guitarchi]

คืองงว่าตรีโกณนั้นมีพื้นฐานมาจากวงกลมหนึ่งหน่วยใช่ไหมครับแล้วการวัดมุมนั้นสามารถวัดในหน่วยองศาและเรเดียน คือคำถามที่อยากถามคือ
1.โดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนี่ยเป็นจำนวนจริง(เรเดียน) หรือองศาอะครับ
2.เนื่องจากเรเดียนสามารถหาจากความยาวส่วนโค้งหารด้วยรัศมี ดังนึ้นเมื่อเรเดียนเป็นลบแล้วความยาวส่วนโค้งจะเป็นลบได้ไหมครับ(ถ้าได้ช่วยอธิบายทีว่าความยาว ในที่นี้คือความยาวส่วนโค้งมันจะติดลบได้อย่างไร) และถ้าติดลบได้ เวลาคำนวณมันจะต้องใช้ค่าที่เป็นบวกของมัน หรือค่าติดลบนั้นเลย
3.เนื่องจากมุมที่วัดจากแกน x ในวงกลมหนึ่งหน่วยนั้น ถ้าทวนเข็มจะเป็นบวก และค่า x เป็น cos@ y=sin@ โดย@ เป็นมุมที่วัดจากแกน x ในหน่วยเรเดียน แต่ที่เรียนพิเศษเขาสอนว่า @ นั้นเป็นระยะทางของส่วนโค้งซึ่งมีหน่วยเป็นเรเดียน โดยถ้าสมมุติว่าวงกลมรัศมี r ใดๆเขาบอกว่า (pi)(r) = 180 องศา พูดง่ายๆก็คือจากที้เขาสอนว่า ค่า 180 องศา มันจะเท่ากับ พาย r เรเดียน ขึ้นอยู่กับรัศมีนั่นเอง อยากจะถามว่าเขาสอนถูกไหม แต่ว่าวิธีเขาก็ใช้ทำโจทย์ได้นะครับ
ปล.จากข้อสามกรณีที้วงกลมหนึ่งหน่วย ถ้าส่วนโค้งยาว a ที่เรียนพิเศษเขาก็บอกเลยว่า x = r cos (a) แต่ เรเดียนมันคือมุมไม่ใช่หรอครับ
ปล.2 ขอบคุณมากครับ ที่อ่านมาถึงตรงนี้

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ guitarchi

คืองงว่าตรีโกณนั้นมีพื้นฐานมาจากวงกลมหนึ่งหน่วยใช่ไหมครับแล้วการวัดมุมนั้นสามารถวัดในหน่วยองศาและเรเดียน คือคำถามที่อยากถามคือ
1.โดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนี่ยเป็นจำนวนจริง(เรเดียน) หรือองศาอะครับ
2.เนื่องจากเรเดียนสามารถหาจากความยาวส่วนโค้งหารด้วยรัศมี ดังนึ้นเมื่อเรเดียนเป็นลบแล้วความยาวส่วนโค้งจะเป็นลบได้ไหมครับ(ถ้าได้ช่วยอธิบายทีว่าความยาว ในที่นี้คือความยาวส่วนโค้งมันจะติดลบได้อย่างไร) และถ้าติดลบได้ เวลาคำนวณมันจะต้องใช้ค่าที่เป็นบวกของมัน หรือค่าติดลบนั้นเลย
3.เนื่องจากมุมที่วัดจากแกน x ในวงกลมหนึ่งหน่วยนั้น ถ้าทวนเข็มจะเป็นบวก และค่า x เป็น cos@ y=sin@ โดย@ เป็นมุมที่วัดจากแกน x ในหน่วยเรเดียน แต่ที่เรียนพิเศษเขาสอนว่า @ นั้นเป็นระยะทางของส่วนโค้งซึ่งมีหน่วยเป็นเรเดียน โดยถ้าสมมุติว่าวงกลมรัศมี r ใดๆเขาบอกว่า (pi)(r) = 180 องศา พูดง่ายๆก็คือจากที้เขาสอนว่า ค่า 180 องศา มันจะเท่ากับ พาย r เรเดียน ขึ้นอยู่กับรัศมีนั่นเอง อยากจะถามว่าเขาสอนถูกไหม แต่ว่าวิธีเขาก็ใช้ทำโจทย์ได้นะครับ
ปล.จากข้อสามกรณีที้วงกลมหนึ่งหน่วย ถ้าส่วนโค้งยาว a ที่เรียนพิเศษเขาก็บอกเลยว่า x = r cos (a) แต่ เรเดียนมันคือมุมไม่ใช่หรอครับ
ปล.2 ขอบคุณมากครับ ที่อ่านมาถึงตรงนี้

1. เป็นจำนวนจริง ซึ่งก็คือ เรเดียน ครับ.

แต่เนื่องจากมุมองศา สามารถแปลงเป็น เรเดียนได้ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า
$\pi$ เรเดียน = 180 องศา หรือ $3.14$ เรเดียน = 180 องศา โดยประมาณ

ดังนั้นเราจึงสามารถแปลงมุมองศาใด ๆ เป็นเรเดียนได้ เช่น 60 องศา = $\pi/3$ เรเดียน หรือประมาณ 3.14/6 = 0.57

จึงกล่าวได้ว่า โดเมนเป็นองศา ก็ไม่ผิดเช่นกันครับ.

2. ความยาวส่วนโค้ง $\theta$(ทีตา) ที่วัดจากจุด (1,0) ไปทวนเข็ม จะเป็นบวก

และ ความยาวส่วนโค้ง $\theta$(ทีตา) ที่วัดจากจุด (1,0) ไปตามเข็ม จะเป็นลบ

อันนี้เป็นนิยามครับ ดังนั้นไม่มีอะไรต้องสงสัย ถ้าเราจะพูดถึงขนาดของความยาวส่วนโค้งที่เป็นบวกแน่ ๆ ในที่ใช้บนโลกมนุษย์ปกติ

เราอาจจะเขียนว่า $|\theta|$

3. ข้อนี้ค่อนข้างจะอธิบายให้เข้าใจตรงกันยาก ถ้าไม่มีรูปประกอบ ผมขอสรุปสั้น ๆ ว่าความสัมพันธ์ของมุมเรเดียนกับองศามีแบบเดียวคือ $\pi$ เรเดียน = 180 องศา เท่านั้นครับ

และ $\theta$ (มุมในหน่วยเรเดียน) = ความยาวส่วนโค้งที่รองรับวงกลม โดยมีแขนทั้งสองมาจากจุดศูนย์กลางวงกลม / รัศมีของวงกลมนั้น ๆ

================

เรื่องนี้ตอนแรก เขาจะพิสูจน์ว่า มุมที่รองรับที่จุดศูนย์กลางของวงกลมใด ๆ ที่มีความยาวส่วนโค้ง เท่ากับ ความยาวรัศมีของวงกลมนั้น ไม่ว่าวงกลมจะเล็กหรือใหญ่แค่ไหน มุมดังกล่าวจะมีค่าคงตัวเสมอคือ เท่ากับ (สี่มุมฉาก/ 2pi) = 360 องศา/2pi = 57 องศาโดยประมาณ

ซึ่งการที่มีมันมีค่าคงตัว เราจึงสามารถคิดมุมอื่น ๆ ให้เป็นสัดส่วนของมุมที่คงตัวนี้ได้

และเราเรียกมุมที่มีค่าคงตัวนี้ว่า มุม 1 เรเดียน

สูตร $\theta$ (มุมในหน่วยเรเดียน) = ความยาวส่วนโค้งที่รองรับวงกลม โดยมีแขนทั้งสองมาจากจุดศูนย์กลางวงกลม / รัศมีของวงกลมนั้น ๆ

ได้มาหลังจากที่เราพิสูจน์ว่ามุม 1 เรเดียนมีค่าเท่ากันเสมอ ไม่ว่าจะเป็นวงกลมรัศมีใด ๆ ครับ.

[guitarchi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

1. เป็นจำนวนจริง ซึ่งก็คือ เรเดียน ครับ.

แต่เนื่องจากมุมองศา สามารถแปลงเป็น เรเดียนได้ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า
$\pi$ เรเดียน = 180 องศา หรือ $3.14$ เรเดียน = 180 องศา โดยประมาณ

ดังนั้นเราจึงสามารถแปลงมุมองศาใด ๆ เป็นเรเดียนได้ เช่น 60 องศา = $\pi/3$ เรเดียน หรือประมาณ 3.14/6 = 0.57

จึงกล่าวได้ว่า โดเมนเป็นองศา ก็ไม่ผิดเช่นกันครับ.

2. ความยาวส่วนโค้ง $\theta$(ทีตา) ที่วัดจากจุด (1,0) ไปทวนเข็ม จะเป็นบวก

และ ความยาวส่วนโค้ง $\theta$(ทีตา) ที่วัดจากจุด (1,0) ไปตามเข็ม จะเป็นลบ

อันนี้เป็นนิยามครับ ดังนั้นไม่มีอะไรต้องสงสัย ถ้าเราจะพูดถึงขนาดของความยาวส่วนโค้งที่เป็นบวกแน่ ๆ ในที่ใช้บนโลกมนุษย์ปกติ

เราอาจจะเขียนว่า $|\theta|$

3. ข้อนี้ค่อนข้างจะอธิบายให้เข้าใจตรงกันยาก ถ้าไม่มีรูปประกอบ ผมขอสรุปสั้น ๆ ว่าความสัมพันธ์ของมุมเรเดียนกับองศามีแบบเดียวคือ $\pi$ เรเดียน = 180 องศา เท่านั้นครับ

และ $\theta$ (มุมในหน่วยเรเดียน) = ความยาวส่วนโค้งที่รองรับวงกลม โดยมีแขนทั้งสองมาจากจุดศูนย์กลางวงกลม / รัศมีของวงกลมนั้น ๆ

================

เรื่องนี้ตอนแรก เขาจะพิสูจน์ว่า มุมที่รองรับที่จุดศูนย์กลางของวงกลมใด ๆ ที่มีความยาวส่วนโค้ง เท่ากับ ความยาวรัศมีของวงกลมนั้น ไม่ว่าวงกลมจะเล็กหรือใหญ่แค่ไหน มุมดังกล่าวจะมีค่าคงตัวเสมอคือ เท่ากับ (สี่มุมฉาก/ 2pi) = 360 องศา/2pi = 57 องศาโดยประมาณ

ซึ่งการที่มีมันมีค่าคงตัว เราจึงสามารถคิดมุมอื่น ๆ ให้เป็นสัดส่วนของมุมที่คงตัวนี้ได้

และเราเรียกมุมที่มีค่าคงตัวนี้ว่า มุม 1 เรเดียน

สูตร $\theta$ (มุมในหน่วยเรเดียน) = ความยาวส่วนโค้งที่รองรับวงกลม โดยมีแขนทั้งสองมาจากจุดศูนย์กลางวงกลม / รัศมีของวงกลมนั้น ๆ

ได้มาหลังจากที่เราพิสูจน์ว่ามุม 1 เรเดียนมีค่าเท่ากันเสมอ ไม่ว่าจะเป็นวงกลมรัศมีใด ๆ ครับ.

คือจากข้อสองอะครับที่บอกว่าความยาวส่วนนั้นจะเป็นลบ คือไม่เข้าใจว่าความยาวจะติดลบได้ยังไงเหรอครับ หรือว่านี่มาจากนิยาม
ปล. มีสิ่งไหนนอกจากความยาวส่วนโค้งและมุมบ้างไหมครับที่สามารถติดลบจากนิยาม

[poper]

จริงๆแล้วความยาวจะติดลบไม่ได้ เป็นที่เข้าใจอยู่แล้วครับ นั่นคือถ้าเราพูดถึงความยาวจริงๆก็ควรใช้ $|\theta|$ ตามที่คุณ gon บอกไว้ครับ


แต่ถ้าเราพูดถึงความยาวโดยแสดงทิศทางด้วยก็จะมีเครื่องหมายลบเข้ามาเพื่อบอกทิศทางครับ

อย่างในเรื่องตรีโกณมิตินี้ ถ้าคิดมุม หรือความยาวส่วนโค้งที่มีค่าเป็นบวก นั่นคือเราคิดในทิศ ทวนเข็มนาฬิกา

แต่ถ้าหากมุมหรือความยาวส่วนโค้งเป็นลบ แสดงว่าเรากำลังคิดในทิศ ตามเข็มนาฬิกาครับ

คล้ายๆกับเรื่องความเร็ว ที่สามรถติดลบได้เช่นกัน ซึ่งจริงๆไม่น่าจะติดลบ แต่ความเร็วที่ติดลบจะแสดงทิศทางครับ ว่ามัน

กำลังถอยหลัง