ใครรู้ช่วยพิสูจน์ทีครับ

[viista]

Let $\{a_n\},\{b_n\}$ be sequences in $R$ such that
$a_{n+1}\leq a_n+b_n$.
If $\{a_n\}$ is bounded below, $b_n\geq 0$ for all $n\in N$ and $\sum b_n<\infty$. Prove that $\lim a_n$ exists.

[MINGA]

Let $\epsilon >0.$ Since $\sum b_n$ converges, $\sum_{i\geq n} b_i \rightarrow 0$ as $n\rightarrow \infty.$ There is $N\in\mathbb{N}$ s.t. $\sum_{i\geq n} b_i < \epsilon$ for all $n \geq N.$ From $a_{i+1}-a_i \leq b_i,$ we get
$$a_m - a_n \leq \sum_{i\geq n}b_i<\epsilon$$
for all $m\geq n\geq N.$ It is clear from $a_{n+1}-a_1 \leq \sum_{i\leq n} b_i < \infty$ that $(a_n)$ is also bounded above. By Bolzano?Weierstrass theorem, there is subsequence $(a_{n_k})$ converging to $a.$ There is $K\in\mathbb{N}$ s.t.
$$|a_{n_k} - a|<\epsilon$$
for $k\geq K.$ Let $n > \max\{N,n_K\},$ and $n_j$ be such that $n_j>n.$ So $j>K.$ Then
$$ |a_n - a| \leq |a_n - a_{n_j}| + |a_{n_j} - a| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon.$$

[viista]

เราทราบว่า $a_m-a_n<\epsilon\forall m>n$ แล้วทำไมจึงได้ว่า $|a_m-a_n|<\epsilon$ ครับ

[viista]

We have that for all $k,n\in\mathbb{N}$
$$
a_{n+k}-a_n\leq \sum_{i=n}^{n+k-1}(a_{i+1}-a_i)\leq \sum_{i=n}^{n+k-1}b_i\leq \sum_{i=n}^\infty b_i.
$$
So
$$
\limsup_n a_n=\limsup_k a_{n+k}\leq \sum_{i=n}^\infty b_i +a_n\forall n\in\mathbb{N}.
$$
Therefore
$$
\limsup_n a_n\leq \liminf_n a_n.
$$

[MINGA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ viista

เราทราบว่า $a_m-a_n<\epsilon\forall m>n$ แล้วทำไมจึงได้ว่า $|a_m-a_n|<\epsilon$ ครับ

ผมสะเพร่าเองหละครับ ตอนแรกผมกะจะเลือก $(a_{n_k})$ เป็น maximal nonincreasing subsequence (ซึ่งก็มีปัญหาอื่นอยู่ดี)