FE

[FranceZii Siriseth]

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$f(x)f(y)=f(x+y)+xy , \ \forall x,y \in \mathbb{R}$

Sol $P(x,y) : \ f(x)f(y)=f(x+y)+xy$
$P(0,0) : \ f(0)^2=f(0)$

Case $f(0)=1$
$\\P(x,-x) : \ f(x)f(-x)=1-x^2$

ผมสรุปว่า $f(x)\equiv 1+x,1-x$ ได้เลยหรือปล่าวครับ

[nooonuii]

ยังไม่ได้ครับ ต้องแสดงว่าไม่เกิดกรณี $f(a)=1-a,f(b)=1+b$ สำหรับบาง $a\neq b$ เสียก่อนครับ

[polsk133]

ถ้ามีแค่ $f(x)f(-x)=1-x^2$ ไม่น่าจะสรุปได้นะครับ

[Napper]

เราต้องพิสูจน์ก่อนครับว่ากรณี $f(0)=0$ ไม่มีคำตอบ จึงตกมาที่ $f(0)=1$ เท่านั้น
หลังจากนั้นลองพิจารณาให้หลากหลายตัวแปรดูครับ จะมีพจน์ที่สามารถคิดได้สองแบบ
แล้วเอาสองแบบนั้นจับมาเท่ากัน คำตอบจะอยู่ในรูปของ $f(x)=1+cx$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่
ต่อจากนี้ก็คงไม่ยากแล้วครับ

แต่ก็แล้วแต่นะครับ อาจจะมีวิธีคิดหลายวิธี ที่ผมเสนอมาเป็นหนึ่งในวิธีแก้ครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ยังไม่ได้ครับ ต้องแสดงว่าไม่เกิดกรณี $f(a)=1-a,f(b)=1+b$ สำหรับบาง $a\neq b$ เสียก่อนครับ

รบกวนอาจารย์หน่อยครับผมมึน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$f(x)f(y)=f(x+y)+xy , \ \forall x,y \in \mathbb{R}$

Sol $P(x,y) : \ f(x)f(y)=f(x+y)+xy$
$P(0,0) : \ f(0)^2=f(0)$

Case $f(0)=1$
$\\P(x,-x) : \ f(x)f(-x)=1-x^2$

ผมสรุปว่า $f(x)\equiv 1+x,1-x$ ได้เลยหรือปล่าวครับ

เหมือนจะยังสรุปอะไรไม่ได้เลยครับ

ลองทำต่อจากที่ทำไว้นะ พิสูจน์ว่า

1. $f(1)f(-1)=0$

2. ถ้า $f(1)=0$ แทนค่าด้วยค่าที่เหมาะสมจะได้ $f(x)=1-x$

3. ถ้า $f(-1)=0$ แทนค่าด้วยค่าที่เหมาะสมจะได้ $f(x)=1+x$

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Napper

เราต้องพิสูจน์ก่อนครับว่ากรณี $f(0)=0$ ไม่มีคำตอบ จึงตกมาที่ $f(0)=1$ เท่านั้น
หลังจากนั้นลองพิจารณาให้หลากหลายตัวแปรดูครับ จะมีพจน์ที่สามารถคิดได้สองแบบ
แล้วเอาสองแบบนั้นจับมาเท่ากัน คำตอบจะอยู่ในรูปของ $f(x)=1+cx$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่
ต่อจากนี้ก็คงไม่ยากแล้วครับ

แต่ก็แล้วแต่นะครับ อาจจะมีวิธีคิดหลายวิธี ที่ผมเสนอมาเป็นหนึ่งในวิธีแก้ครับ

ช่วยทำตรงสีเขียวให้ดูหน่อยสิครับ

[Napper]

พิจารณาพจน์ $f(x)f(y)f(z)$ ดูครับ เมื่อ $x,y,z$ ไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ (เพราะทราบแล้วว่า $f(0)=1$)
เราสามารถจับคู่ค่อยๆกระจายได้สองแบบ ลองคูณ $f(x)f(z)$ ก่อนครับ

$\begin{array}{rcl}
f(x)f(y)f(z) &=& f(y) \cdot \big[ f(x+z)+xz \big]\\
&=& f(y)f(x+z)+xz \cdot f(y)\\
&=& f(y+(x+z))+y(x+z)+xz \cdot f(y)\\
&=& f(x+y+z)+xy+yz+zx \cdot f(y)
\end{array}$

ถ้าเราเปลี่ยนเป็นคูณ $f(y)f(z)$ ก่อน ก็จะได้อีกรูปหนึ่งซึ่งคล้ายๆกัน แล้วจับมาเท่ากัน
จากนั้นอาศัยจากที่ $x,y,z$ ไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ จัดรูป นำไปหาร ฯลฯ จะสามารถแยกตัวแปรได้ครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Napper

พิจารณาพจน์ $f(x)f(y)f(z)$ ดูครับ เมื่อ $x,y,z$ ไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ (เพราะทราบแล้วว่า $f(0)=1$)
เราสามารถจับคู่ค่อยๆกระจายได้สองแบบ ลองคูณ $f(x)f(z)$ ก่อนครับ

$\begin{array}{rcl}
f(x)f(y)f(z) &=& f(y) \cdot \big[ f(x+z)+xz \big]\\
&=& f(y)f(x+z)+xz \cdot f(y)\\
&=& f(y+(x+z))+y(x+z)+xz \cdot f(y)\\
&=& f(x+y+z)+xy+yz+zx \cdot f(y)
\end{array}$

ถ้าเราเปลี่ยนเป็นคูณ $f(y)f(z)$ ก่อน ก็จะได้อีกรูปหนึ่งซึ่งคล้ายๆกัน แล้วจับมาเท่ากัน
จากนั้นอาศัยจากที่ $x,y,z$ ไม่มีตัวใดเป็นศูนย์ จัดรูป นำไปหาร ฯลฯ จะสามารถแยกตัวแปรได้ครับ

ใช้เทคนิก cycle ตัวแปรออกมานี่เอง มองได้ดี

คารวะครับ คารวะ