เมทริกซ์

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

อันนี้เห็นในกลุ่มคณิตมัธยมปลายนะครับ

[issac]

ตอบ $-\sqrt{2}$ ไม่แน่ใจว่าถูกหรือเปล่าครับ เพราะผมหา $x,y,z$ ที่เป็น $\mathbb{R^-} $ พร้อมกันไม่ได้ (ไม่ว่า $a$ จะเป็น $2, 3$ หรือ $6$ ก็ตาม)

กำหนด $A = \bmatrix{5&1&-1\\ 1&3&-1\\ -1&-1&3}$

1. หา $Eigenvalues$

$\because \left|\,A-aI_3\right|=0 $

$\Rightarrow a^3-11a^2+36a-36=0$

$\Rightarrow (a-2)(a-3)(a-6)=0$

$\Rightarrow a=2$ ($\because a$ เป็นจำนวนจริงค่าน้อยสุด)


2. หา $Eigenvectors$

$\because (A-2I_3)\bmatrix{x\\y\\z}=\bmatrix{0\\0\\0}$ เมื่อ $x^2+y^2+z^2=1$ และ $x,y,z \in \mathbb{R^-} $

$\Rightarrow \bmatrix{3&1&-1\\1&1&-1\\-1&-1&1}\bmatrix{x\\y\\z}=\bmatrix{0\\0\\0}$

ใช้ Row reduce จะได้

$\Rightarrow \bmatrix{1&0&0\\0&1&-1\\0&0&0}\bmatrix{x\\y\\z}=\bmatrix{0\\0\\0}$

จะได้ $x=0$, $y=z$

จากเงื่อนไข $x^2+y^2+z^2=1$ และ $y,z \in \mathbb{R^-}$ $\Rightarrow y=z=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

$\therefore x+y+z=0-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$ (น่าจะใกล้เคียงคำตอบที่สุด)