ข้อสอบม.4 ร.ร.สว.2

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ตอบ ปล.1 กำลังขึ้น ม.3 ครับ
ตอบ ปล.2 วิธีคิดโจทย์
ช้อ 1. น้อง jabza สามารถหาอ่านได้ในหนังสือพีชคณิต ของ สอวน. หน้า 67 ซึ่งจะอธิบายการหารากสมการกำลังสี่บางรูปแบบที่อยู่ในรูป $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = e$
โจทย์ลักษณะนี้เคยเป็นข้อสอบของเพชรมงกุฎมาแล้ว ถ้าจำไม่ผิด
จะถามหารากของสมการ $(x-5)(x-7)(x+6)(x+4) = 504$

ส่วนข้อ 2 นั้นวิธีคิดนั้นก็ใช้การสังเกตว่าผลต่างของตัวหารกับตัวเศษเท่ากัน แต่ถ้าไม่ใช้ก็อาจต้องใช้เทคนิคอื่นเพิ่มเติม ลองดูซักข้อไหม ไม่รู้ว่าเคยเห็นโจทย์ลักษณะนี้หรือเปล่า
A เป็นจำนวนหนึ่งที่มีค่าน้อยกว่า 1000 ถ้า A ถูกหารด้วย 5 จะเหลือเศษ 4 ถ้าถูกหารด้วย 7 จะเหลือเศษ 2 ถ้าถูกหารด้วย 11 จะเหลือเศษ 6 และถ้าถูกหารด้วย 13 จะเหลือเศษ 9 จงหาจำนวน A ที่มีค่ามากที่สุดที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมดที่กำหนดให้ คำตอบ คือ 919

ปล.
1.ใครจะช่วยเฉลยก็ได้นะครับ จะได้ตรวจสอบผมคิดอีกที
2. น้อง jabza อยู่แค่ ม.1ทำได้ขนาดนี้ต้องถือว่ายอดมากแล้ว

เอ่อพี่Art_ninja ข้อนี้นะครับ ช่วยเฉลยด้วย แบบcongruent นะครับ ขอบคุณครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

โจทย์ที่ให้มารู้สึกว่าคล้ายๆ โจทย์ประถมโลก ข้อนี้นะครับ
1.$p$หารด้วย$5,8,13เหลือเศษ3,5,11$ โดยที่ $p<1,000$ จงหาค่าp(ตอบ973ครับ)

ปล.พี่หยินหยาง ลองแสดงวิธีทำข้อนี่หน่อยครับ
ปล2.ใช้เทคนิคอื่นๆที่พี่บอกนะครับ เพราะว่าตัวหารห่างกับเศษไม่เท่ากันอีกแล้ว

ดีจังครับมีคนมาช่วยเฉลย นั่นแหละทำแบบ คุณ Art_ninja ผมเองก็ไม่ค่อยรู้เรื่อง mod อะไรนั่นรู้จัก แต่ four mod

แต่ถ้าใช้มวยวัดหรือวิชามารก็พอได้ โดย p เป็นค่ามากที่สุด ดังนั้น
pหารด้วย 5 เหลือเศษ 3 ที่มีค่าเรียงจากมากไปน้อยจะเป็น 998, 993,...,973, 968,...

pหารด้วย 8 เหลือเศษ 5 ที่มีค่าเรียงจากมากไปน้อยจะเป็น 997, 989,...,973, 965,...

pหารด้วย 13 เหลือเศษ 11 ที่มีค่าเรียงจากมากไปน้อยจะเป็น 986,973, 960,...

ดังนั้น จะเห็นว่า 973 เป็นค่าที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า

เห็นเป็นข้อสอบประถมโลก ก็เลยใช้ความรู้ประถมครับ ล้อเล่นนะ

[Art_ninja]

ตอบน้อง jabza ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนครับ(อยู่ในหนังสือ สอวน. ทฤษฎีจำนวน บทที่ 6)
ลองศึกษาจากตัวอย่างดูนะครับ เดี๋ยวก็ทำเป็นเองแหละ น้องเก่งกว่าพี่ตอนอยู่ชั้นเดียวกันอีกนะ

[Art_ninja]

ตอบข้อของน้อง jabza ครับ
$a\equiv 4(mod5)$
$a\equiv 2(mod7)$
$a\equiv 6(mod11)$
$a\equiv 9(mod13)$
จากสมการข้างบนเพราะว่า$(5,7)=1,(7,11)=1;(11,13)=1,(5,13)=1$จะได้ว่าสมการคอนกรูเอนซ์เชิงเส้นนี้มีคำตอบเพียงชุดเดียวในมอดุโล $5005=(5)(7)(11)(13)$ จากทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน
ให้ $n=(5)(7)(11)(13)=5005$
$N_1=\frac{5005}{5} =1001$
$N_2=\frac{5005}{7} =715$
$N_3=\frac{5005}{11} =455$
$N_4=\frac{5005}{13} =385$ และให้ $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคำตอบของสมการ
$1001x_1\equiv 1(mod5)$
$715x_2\equiv 1(mod7) $
$455x_3\equiv 1(mod11)$
$385x_4\equiv 1(mod 13)$
จะได้ว่า $x_1=1,x_2=1,x_3=3,x_4=5$
ดังนั้นคำตอบร่วมกันของสมการเชิงเส้น $a_0\equiv a_i(mod n_i)$ เมื่อ $a_1=4,a_2=2,a_3=6,a_4=9$
สามารถเขียนในรูป
$a_0=\sum_{j = 1}^{4}N_j a_j x_j$
$=(1001)(4)(1)+(715)(2)(1)+(455)(6)(3)+(385)(9)(5)$
$=(4004)+(1430)+(8190)+(17325)$
$=30949$
ซึ่งทำให้ $a_0\equiv 30949\equiv 919(mod5005)$
แต่ว่าโจทย์ต้องการหาค่า a ที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 1000
ดังนั้น $x=919$ #

[munoi]

เอ่อ... ใครทราบบ้างค่ะ ว่า ทำไม เวป พระตะบอง ถึงไม่อัพเดตข้อสอบเลยค่ะ .. สงสัยม๊ากกค๊า ...