ข้อสอบม.4 ร.ร.สว.2

[jabza]

1.จงหาผลบวกของคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมดของสมการ$(3x-1)(4x^2-1)(3x+2) = 420$ (ผมคิดคำตอบได้ $-\frac{1}{3}$) ไม่รู้ว่าถูกอ๊ะเปล่าครับ
อีกข้อๆ
2. จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่หารด้วย3,13,23เหลือเศษ1,11,21ตามลำดับ จะเหลือเศษเท่าไหร่เมื่อหารด้วย33 (ข้อนี้ผมคิดคำตอบไม่ได้ครับ ช่วยชี้แนะด้วย)

ปล.ช่วยชี้แนะด้วยคร้าบบ

[หยินหยาง]

ข้อ 2. จะเห็นว่าเลขจำนวนนั้นถ้าบวกด้วย 2 จะหารลงตัวหมด ดังนั้น ก็หา ครน. ของ 3, 13, 23 ได้เท่าไรก็หักเอา 2 ออก ต่อจากนั้นก็ทำได้แล้วนะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

1.จงหาผลบวกของคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมดของสมการ$(3x-1)(4x^2-1)(3x+2) = 420$ (ผมคิดคำตอบได้ $-\frac{1}{3}$) ไม่รู้ว่าถูกอ๊ะเปล่าครับ
อีกข้อๆ

ไม่ใช่ผลบวกของรากทั้งหมดนะ คำตอบที่ได้เป็น $-\frac{1}{6}$

[M@gpie]

ข้อ 1. ผมคิดได้ $-\frac{1}{6}$ ครับน้อง Jabza ลองเช็คดู

[jabza]

พี่M@gipeและพี่หยิงหยาง ช่วยบอกใบ้หน่อยครับ ผมยังหาไม่ได้ซักรากเลย ที่ได้คำตอบเป็นผลบวกของรากทั้งหมด ที่เป็นทั้งตรรกยะ และอตรรกยะ $=-\frac{1}{3}$ ช่วยใบ้ซักหน่อยน้าครับๆๆๆ

[M@gpie]

ถ้าข้อนี้ออกเป็นข้อสอบในโรงเรียนจริงก็ถือว่าใช้พลังพอตัวครับ คิดว่า อ.ที่ออกข้อสอบตั้งใจให้ทำแบบตรงๆ คือกระจายกำลังสี่แล้ว ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ + ทฤษฎีบทตัวประกอบ แต่สังเกตว่าแบบนี้คับ
\[ (3x-1)(4x^2-1)(3x+2)=[(3x-1)(2x+1)][(2x-1)(3x+2)]=(6x^2+x-1)(6x^2+x-2) \]
ถึงตรงนี้สังเกตต่อว่ามี $6x^2+x $ เหมือนกัน เพื่อความง่ายก็เปลี่ยนตัวแปร $t=6x^2+x$ \[ (t-1)(t-2)=420\]
สมการนี้หาคำตอบได้ง่ายขึ้นแล้วคับ

ป.ล. คุณ หยินหยาง โพสวิธีเดียวกันเลยครับ

[หยินหยาง]

$(3x-1)(4x^2-1)(3x+2) = 420$
$(3x-1)(2x+1)(2x-1)(3x+2) = 420$
$(6x^2+x-1)(6x^2+x-2) = 420$
ให้ $ 6x^2+x = y$
$(y-1)(y-2) = 420$
$y^2-3y-2 = 420$
$จะได้ y = 22, -19$
ต่อจากนั้นก็ทำต่อได้แล้วนะ

[jabza]

เย้ๆๆๆ ผมก็คิดออกแล้ววๆๆๆ มัวแต่ไปแยกตัวประกอบของ420 เลยคิดมะได้ Trickมันอยู่ตรงที่แยก$(4x^2-1)เป็น(2x-1)(2x+1)$ พอได้4วงเล็บก็จับคู่ใหม่ โดยจับ$(3x-1)(2x+1) และ (2x-1)(3x+2) = 420$เมื่อคูณออกมาแล้ว จะได้ $(6x^2+x-1)(6x^2+x-2) = 420 ก็ให้6x^2+x = A$ ที่เหลือ ก็สบายแล้วครับ รู้สึกว่าวิธีนี้เหมือนวิธีของพี่หยิงหยางเลยแฮะ ผมไม่ได้ลอกเลียนแบบนะครับบ คิดจากbrianแท้ๆ แหมม่ ถ้าโจทย์เป็น4วงเล็บมาก็สบายหมูไปแล้ว รู้สึกว่าโจทย์คล้ายข้อสอบเข้าเตรียมนะครับ แต่ข้อ2นี้ต้องยอมพี่หยิงหยาง เก่งจริงๆครับ

ปล.พี่หยิงหยางอยู่ชั้นไหนครับ ส่วนผมเพิ่งขึ้นม.1 ประสบการณ์บ่มี

ปล2.พี่หยิงหยางมีวิธีคิดอื่นไหมครับ ผมก็หาครน.แต่ลืมหักออก มัวแต่ไปบวกเข้า

[munoi]

แล้วพอได้ 22 กะ -19 แล้ว เอ่อ... แบบว่า... ทำต่อยังไงหรอค่ะ ช่วยบอกหน่อยนะค๊า แหะๆ

[jabza]

อะๆ ต่อให้ๆ ก็แทนค่า$y = 6x^2+x = 22 , 6x^2+x = -19$ ชุดแรกจะแยกได้สองวงเล็บ คือ $(6x-11)(x+2) จะได้ x =\frac{11}{6}, -2$ แล้วก็นำมาบวกกัน เป็นผลบวกของตรรกยะ$ = -2+\frac{11}{6} = -\frac{1}{6} $ ส่วนอีกชุดนึงเป็นอตรรกยะ ไม่ต้องหาค่า ครับ เพราะเค้าบอกว่าให้หาเฉพาะผลบวกของตรรกยะเท่านั้น
ปล.คุณmunoiเรียนชั้นไหนครับ
ปล2.ข้อ2นี่ง่ายจริงๆๆๆ คิดได้และ เด็กป.6ก็ทำได้น้อ ตัวหารและเศษห่างเท่ากัน = 2 ดังนั้นหาครน.ของ3,13,23 แล้วก็-2ก็จบแล้วค้าบบบ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ปล.พี่หยิงหยางอยู่ชั้นไหนครับ ส่วนผมเพิ่งขึ้นม.1 ประสบการณ์บ่มี

ปล2.พี่หยิงหยางมีวิธีคิดอื่นไหมครับ ผมก็หาครน.แต่ลืมหักออก มัวแต่ไปบวกเข้า

ตอบ ปล.1 กำลังขึ้น ม.3 ครับ
ตอบ ปล.2 วิธีคิดโจทย์
ช้อ 1. น้อง jabza สามารถหาอ่านได้ในหนังสือพีชคณิต ของ สอวน. หน้า 67 ซึ่งจะอธิบายการหารากสมการกำลังสี่บางรูปแบบที่อยู่ในรูป $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = e$
โจทย์ลักษณะนี้เคยเป็นข้อสอบของเพชรมงกุฎมาแล้ว ถ้าจำไม่ผิด
จะถามหารากของสมการ $(x-5)(x-7)(x+6)(x+4) = 504$

ส่วนข้อ 2 นั้นวิธีคิดนั้นก็ใช้การสังเกตว่าผลต่างของตัวหารกับตัวเศษเท่ากัน แต่ถ้าไม่ใช้ก็อาจต้องใช้เทคนิคอื่นเพิ่มเติม ลองดูซักข้อไหม ไม่รู้ว่าเคยเห็นโจทย์ลักษณะนี้หรือเปล่า
A เป็นจำนวนหนึ่งที่มีค่าน้อยกว่า 1000 ถ้า A ถูกหารด้วย 5 จะเหลือเศษ 4 ถ้าถูกหารด้วย 7 จะเหลือเศษ 2 ถ้าถูกหารด้วย 11 จะเหลือเศษ 6 และถ้าถูกหารด้วย 13 จะเหลือเศษ 9 จงหาจำนวน A ที่มีค่ามากที่สุดที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมดที่กำหนดให้ คำตอบ คือ 919

ปล.
1.ใครจะช่วยเฉลยก็ได้นะครับ จะได้ตรวจสอบผมคิดอีกที
2. น้อง jabsa อยู่แค่ ม.1ทำได้ขนาดนี้ต้องถือว่ายอดมากแล้ว

[jabza]

โจทย์ที่ถามมา ตอบ919 ผมทำไม่ได้ครับ เทคนิคอื่นที่พี่ใช้คืออะไรอะ คุณพ่อบอกว่าใช้concruence รึเปล่าครับ เช่น A = 4(mod5), A = 2(mod7) , A = 6(mod11) ,A = 9(mod13) แล้วหาครน.ของตัวหารได้5005 ใช่มะครับ
ปล.พี่มีเทคนิคอะไรครับที่ได้คำตอบ919 ก็ช่วยแนะนำด้วยครับ

[jabza]

โจทย์ที่ให้มารู้สึกว่าคล้ายๆ โจทย์ประถมโลก ข้อนี้นะครับ
1.$p$หารด้วย$5,8,13เหลือเศษ3,5,11$ โดยที่ $p<1,000$ จงหาค่าp(ตอบ973ครับ)

ปล.พี่หยินหยาง ลองแสดงวิธีทำข้อนี่หน่อยครับ
ปล2.ใช้เทคนิคอื่นๆที่พี่บอกนะครับ เพราะว่าตัวหารห่างกับเศษไม่เท่ากันอีกแล้ว

[Art_ninja]

ลองทำข้อของน้อง jabsa ดูนะครับ(ผมเพิ่งขึ้นม. 2 ลองฝึก congruence อยู่พอดี)
$p\equiv 3 (mod 5)$
$p\equiv 5 (mod 8)$
$p\equiv 11 (mod 13)$

จากสมการข้างบนเพราะว่า$(5,8)=1,(8,13)=1,(5,13)=1$ จะได้ว่าสมการคอนกรูเอนซ์เชิงเส้นนี้มีคำตอบเพียงชุดเดียวในมอดุโล $520 = (5)(8)(13)$ จากทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน
ให้ $n = 5*8*13 = 520$
$N_1 = \frac{520}{5}=104$
$N_2 = \frac{520}{8}=65$
$N_3 = \frac{520}{13}=40$ และให้ $x_1,x_2,x_3$ เป็นคำตอบของสมการ
$104x_1\equiv 1 (mod 5)$
$65x_2\equiv 1 (mod 8)$
$40x_3\equiv 1 (mod 13)$
จะได้ว่า $x_1=-1,x_2=1,x_3=1$
ดังนั้นคำตอบร่วมกันของสมการเชิงเส้น $x\equiv a_i (mod n_i)$ เมื่อ $a_1=3,a_2=5,a_3=11$
สามารถเขียนในรูป
$x_0 = \sum_{j = 1}^{3} N_ja_jx_j$
$ = (104)(3)(-1)+(65)(5)(1)+(40)(11)(1)$
$= (-312)+(325)+(440)$
$= 453$
ซึ่งทำให้ $x_0\equiv 453 (mod 520)$
แต่ว่าโจทย์ต้องการหาค่า x ที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 1000
ดังนั้น $x = 453+520 = 973 #$

[warut]

อะไรกันเนี่ย แค่เพิ่งขึ้น ม.2 ฝีมือขนาดนี้แล้วเหรอครับ คุณ Art_ninja ฝึกวิชากับใครครับ หรือว่าฝึกเองแบบเตียบ่อกี้

[jabza]

เอ่อ พี่Art_ninja(เฉลิมวิชญ์)อยู่ในวิชาการดอทคอมใช่ไหมครับ พี่เก่งมากเลยครับ ปีนี้ได้เข้ารอบใช่ไหมครับที่โคราชอะ
ช่วยอธิบายตรงดังนั้นคำตอบร่วมกันของสมการเชิงเส้น $x\equiv a_i (mod n_i)$ เมื่อ $a_1=3,a_2=5,a_3=11$
สามารถเขียนในรูป
$x_0 = \sum_{j = 1}^{3} N_ja_jx_j$
$ = (104)(3)(-1)+(65)(5)(1)+(40)(11)(1)$
$= (-312)+(325)+(440)$
$= 453$
ผมไม่เข้าใจตั้งแต่ตรงนี้อะครับ ว่ามันบวกกัน3พจน์ได้อย่างไรครับ โปรดชี้แนะด้วยครับเพราะผมไม่คล่องcongruentอะครับ
มันใช้ทบ.อะไรอะครับ
ปล2. พี่Art_ninja ช่วยทำข้อที่พี่หยินหยางโพสไว้ด้วยนะครับ ข้อนั้นผมก็ทำไม่ได้-*-(ตอบ919อะครับ ใช้วิธีcongruent ผมจะได้ฝึกเรียนด้วยคนครับ)