|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
19 กุมภาพันธ์ 2002, 14:04
|
|||
|
|||
โจทย์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน
มีคนเอาโจทย์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนมาให้ผมลองทำ ซึ่งผมก็ทำไม่ได้อีกตามเคย
เลยอยากขอคำแนะนำจากชาว Mathcenter ด้วยครับ โจทย์มีอยู่ว่า Let xn+1 = axn + b, nณ1. Prove that the sequence {xn} contains infinitely many composite numbers for each positive integers a, b, x1. 
|
|
#2
19 กุมภาพันธ์ 2002, 19:37
|
|||
|
|||
อ่านโจทย์แล้วงงๆ แปลให้หน่อยสิคับ
|
|
#3
20 กุมภาพันธ์ 2002, 08:33
|
||||
|
||||
|
ลองดูข้อสังเกตนี้ละกัน
 ถ้า gcd(a,b) น 1 จะได้ว่า gcd(a,b) | { xn } เสมอ , (n > 1) ถ้า gcd(a,b) = 1 จาก xn+1 = axn+ b จะพบว่า { xn } = { (x1bbb... )base a } สังเกตได้ว่า (a - 1) | ตัวหนึ่งใน { xm , xm+1 , xm+2 , ... , xm+a-2 } เสมอ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 20 กุมภาพันธ์ 2002 15:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP
|
|
#4
21 กุมภาพันธ์ 2002, 15:34
|
|||
|
|||
|
อ๋อ...เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับคุณ TOP
แต่ว่ามันยังมีกรณีพิเศษอีก 2 กรณีคือ a = 1 และ a = 2 ที่ไม่สามารถใช้วิธีที่ คุณ TOP แสดงได้ สำหรับ a = 1 สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากครับ แต่สำหรับ a = 2 การพิสูจน์ของผมต้องใช้ Fermat's Theorem ด้วยก็เลยคิดว่าน่าจะมีวิธีอื่นที่ดี กว่า จึงอยากขอคำแนะนำจากชาว Mathcenter เพิ่มเติมอีกสักหน่อยครับ ส่วนคำแปลของโจทย์มีดังนี้ครับ ให้จำนวนนับ a, b, x1 มาสร้างลำดับ {xn} โดยใช้ความสัมพันธ์ว่า xn+1 = axn + b, n = 1, 2, 3, ... ให้พิสูจน์ว่าในลำดับนี้มีจำนวนประกอบอยู่มากมายเป็นอนันต์ ไม่ว่าจะใช้ a, b, x1 เป็นจำนวนนับใดก็ตาม
|
|
#5
22 กุมภาพันธ์ 2002, 09:13
|
||||
|
||||
ผมใส่เงื่อนไขกรณีที่สองผิดไปครับ ต้องเปลี่ยนเป็น ถ้า gcd(a-1,b) = 1 แต่สำหรับกรณีอื่นที่เหลือยังไม่ได้คิดครับ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
|
#7
10 มีนาคม 2002, 02:04
|
|||
|
|||
|
ข้อเก่ายังไม่มีคำตอบที่สมบูรณ์ไม่เป็นไรครับ วันนี้ผมมีโจทย์ใหม่อีก 2 ข้อเป็นโจทย์
สมการ Diophantine มาให้เพื่อนๆชาว Mathcenter ช่วยผมคิดกันอีกแล้วครับ 1. ให้หาจำนวนเต็มบวก x, y ทั้งหมดที่ทำให้ x3 + 8x2 - 6x + 8 = y3 2. ให้หาจำนวนเต็มบวก x, y ทั้งหมดที่ทำให้ 7x - 3y = 4 10 มีนาคม 2002 02:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
|
|
#8
24 มีนาคม 2002, 13:43
|
||||
|
||||
โจทย์ ข้อ .2. นี่ดูเหมือนว่าจะคล้าย ๆ กับมุมโอลิมปิกข้อที่ 5 ซึ่งมีคนถามไปแล้ว แต่อย่างไรข้อ 1. ผมก็ลองทำดูแล้วบ้าง ดูเหมือนกับว่าจะหาออกมาได้ยาก ถ้าจะมีคงต้องค่อนข้างไกล แต่ก็จะลองคิดดูครับ
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 
|
|
#9
24 มีนาคม 2002, 16:06
|
|||
|
|||
สำหรับโจทย์สองข้อนี้คนที่เอามาทายผม (เคยเป็นตัวแทนของตุรกีไปแข่งโอลิมปิกมา
ด้วยนะ เค้าบอกว่าได้ third prize ไม่รู้ว่าคือที่เราเรียกเหรียญทองแดงรึเปล่า) เค้าได้มาเฉลยให้แล้วล่ะครับ สำหรับข้อหนึ่งนี่พอเห็นเฉลยแล้วก็ถึงบางอ้อทันทีเลย แต่ข้อสองนี่ทำไปทำมาเค้าก็มาติดที่จุดเดียวกับผม ไม่รู้โจทย์ผิดรึเปล่า เค้าว่าจะไปดู ให้อีกที และนี่ก็คือสาเหตุที่ผมพยายามตามมาเฉลยโจทย์ที่ผมเอามาทายที่นี่ทุกครั้ง ผมว่ามัน fair ดีครับ 
|
|
#10
25 มีนาคม 2002, 17:08
|
||||
|
||||
|
สำหรับข้อ 1. ผมคิดได้แค่ชุดเดียวคือ (9, 11) ไม่ทราบว่าถูกต้องหรือเปล่าครับ. คือวิธีของผม
มันค่อนข้างเฉพาะตัว คือไม่แน่ใจว่าคนอื่น ๆ คิดกันยังไง คือ ผมใช้ทั้งเรขาคณิต กับ แคลคูลัส เพื่อ สรุปว่าคำตอบมีเพียงชุดเดียว อย่างไรก็ดี วิธีของที่เขาเฉลยมาเป็นอย่างไรหรือครับ สำหรับข้อ 2. เดี๋ยวผมจะลองคิดดูอีกที
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา
|
|
#11
26 มีนาคม 2002, 09:00
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
คือให้สังเกตว่าถ้า x, y > 0 แล้วเราจะได้ว่า (x+1)3 < y3 < (x+3)3 ดังนั้น y ก็เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ y = x+... (บอกมากไปมั้ยเนี่ย)  03 พฤษภาคม 2007 04:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
|
|
#12
26 มีนาคม 2002, 14:53
|
||||
|
||||
|
ข้อ 1 นี่แนวคิดแก้ปัญหาแปลกดีครับ ถ้ามีวิธีแก้แบบนี้ เราสามารถเปลี่ยน x3 + 8x2 - 6x + 8 ไปได้หลายแบบทีเดียว
ข้อ 2 เราจะพบว่า เซ็ตของ (x,y) ทั้งหมดเป็นสับเซ็ตของผลเฉลยใน 74m+1 - 34m+1 = 4 จากรูปแบบนี้ทำให้สรุปได้ว่า (x,y) = (1,1) เท่านั้น
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 26 มีนาคม 2002 14:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP
|
|
#14
26 มีนาคม 2002, 17:40
|
||||
|
||||
|
วิธีนี้ใช้การสังเกตเลขโดดตัวท้ายนะครับ(ผมขี้เกียจมองแบบอื่น เอามันง่ายๆแบบนี้ละ) แบบเดียวกับโจทย์จากมุมโอลิมปิก
สังเกตเลขโดดตัวท้ายจากการยกกำลังของ 3 จะพบลำดับดังนี้ 3 , 9 , 7 , 1 , 3 , 9 , 7 , 1 , ... เมื่อนำมาบวกกับ 4 จึงได้เลขโดดตัวท้ายเป็น ลำดับดังนี้ 7 , 3 , 1 , 5 , 7 , 3 , 1 , 5 , ... นำมาเทียบกับเลขโดดตัวท้ายจากการยกกำลังของ 7 จะพบลำดับดังนี้ 7 , 9 , 3 , 1 , 7 , 9 , 1 , 3 , ... แสดงว่าผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มที่เราต้องการ ต้องรวมอยู่ในเซ็ตของ 74m+1 - 34m+1 = 4 -----(1) 74m+3 - 34m+2 = 4 -----(2) 74m - 34m+3 = 4 -----(3) สมการ (1) มีผลเฉลยเดียวคือ m = 0 ส่วนสมการ (2) และ (3) มีผลเฉลยเดียวที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจึงได้ (x,y) = (1,1)
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
|
#15
26 มีนาคม 2002, 18:36
|
|||
|
|||
เอ...ผมว่าถ้าคิดแบบที่คุณ TOP คิด (พิจารณา modulo 10) สมการมันก็น่าจะกลายเป็นแบบนี้มากกว่านะครับ
74m+1 - 34n+1 = 4, 74m+3 - 34n+2 = 4, 74m - 34n+3 = 4 โดยที่ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ 15 เมษายน 2002 12:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut
|
| |
|
|
