ยากมากเลย

opaaru · #1 14 มิถุนายน 2002, 19:26

1. พิสูจน์ว่า (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) ณ 64 ; x+y+z = 1
2. พิสูจน์ว่า (x+y+z)² ณ 4(xy+yz+xz) ;x,y,z เป็นด้านของสามเหลี่ยม

#2 16 มิถุนายน 2002, 21:36

(3+4+5)^2 = 144
4(3*4+4*5+5*3) = 4(12+20+15)=188
ข้อ 2 มันผิด นะ

warut · #3 17 มิถุนายน 2002, 02:42

ข้อ 1. นี่ก็ผิดเหมือนกันครับ ยกตัวอย่างเช่น x = -1

ToT · #4 17 มิถุนายน 2002, 15:01

อ้าว .... โจทย์ผิดหรอครับ แหะๆๆ งงอยู่นาน โจทย์คล้ายกับโจทย์ติว Olympiad ตอนเย็นของเตรียมมากครับ
1. ข้อนี้ทำไม่ได้ครับ

2. ข้อนี้ก็พิสูจน์ไม่ได้ครับ
(x - y)² ณ 0
x² -2xy + y² ณ 0
x² + y² ณ 2xy ---------(1)
ในทำนองเดียวกันได้
x² + z² ณ 2xz ---------(2)
y² + z² ณ 2yz ---------(3)

(1) + (2) + (3) ;
2(x² + y² + z²) ณ 2(xy + xz + yz)
x² + y² + z² ณ xy + xz + yz
เอา 2xy + 2xz + 2yz บวกเข้าไปทั้งสองข้างจะได้
x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz ณ 3(xy + xz + yz)
(x + y + z)² ณ 3(xy + xz + yz)

warut · #5 17 มิถุนายน 2002, 15:22

เป็นอันว่าข้อ 2. นี่ก็ไม่เกี่ยวกับสามเหลี่ยมน่ะสิครับ

gon · #6 17 มิถุนายน 2002, 18:37

ข้อ 2. จะเป็นสามเหลี่ยมหรือไม่ดูยังไงโจทย์ก็น่าจะผิดครับ.
ให้ชัวร์เลยผมให้ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยที่ x = y = z = 1/3 แค่นี้ก็ขัดแย้งแล้วครับ.
น้องไปเอาโจทย์ที่ไหนมาครับ. ??? พูดตรง ๆ มันไม่คุ้นเลย กับที่เคยพิสูจน์มา ตัวเลขมันโอเวอร์ไปนะ

Pich · #7 17 มิถุนายน 2002, 20:17

ก็ตั้งสมมุติฐานได้ 2 ประเด็นใหญ่ๆนะครับ

1. เขาตั้งโจทย์ขึ้นเอง

2. เป็นโจทย์จากการติวคณิตศาสตร์โอลิมปิกของมหิดลฯ (ผมก็ไม่ทราบเหมือนกันเพราะไม่ได้ลงไว้ แต่ขอข้อสอบเพื่อนมาลองทำบ้างก็ไม่พบนะครับ)

opaaru · #8 17 มิถุนายน 2002, 20:27

ขอโทษคับผมมึนมากตอน post คำถาม ข้อแรก x,y,z ต้องเป็นจำนวนจริงบวกคับ ส่วนข้อ 2 โจทย์คงผิดแหละคับ

มันมีอีกข้อที่คล้ายกับข้อแรกมากเลย คือ (x+1/x)²+(y+1/y)² ณ 12.5 ;x,y ฮ R⁺
x+y = 1

ToT · #9 17 มิถุนายน 2002, 22:33

อืม .. ก็ยังงงๆอ่ะคับ
ลองดูข้อสุดท้ายนะครับ
(x - 1/x)² ณ 0
x² - 2 + 1/x² ณ 0
x² + 1/x² ณ 2 ---------( 1 )
ในทำนองเดียวกัน
y² + 1/y² ณ 2 ---------( 2 )
( 1 ) + ( 2 );
x² + 1/x² + y² + 1/y² ณ 4
นำ 4 บวกเข้าไปทั้งสองข้างของสมการ
(x² + 2 + 1/x²) + (y² + 2 + 1/y²) ณ 8
(x + 1/x)² + (y + 1/y)² ณ 8

ซึ่งจากการที่ผมลองแทน x = 0.5 และ y = 0.5 ก็ได้ออกมา = 9 ซึ่งก็น้อยกว่า 12.5 แต่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างบนคือ มากกว่าหรือเท่ากับ 8

งงมากๆครับ หรือโจทย์ชุดนี้จะให้ตอบว่าพิสูจน์ไม่ได้

- - - - - - - - - - - -- -
// จ้าก !! สอบชีวะพรุ่งนี้ ตกชัวร์ๆ - -"

warut · #10 18 มิถุนายน 2002, 02:44

ถ้า x = y = 0.5 แล้ว (x + 1/x)² + (y + 1/y)² = 12.5 น 9 นะครับ

แม้ว่าสำหรับ x, y ใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ (x + 1/x)² + (y + 1/y)² ณ 8 ก็จริงอยู่
แต่ในกรณีนี้อย่าลืมว่าโจทย์กำหนดไว้ให้ x + y = 1 ด้วยครับ

เชื่อแล้วล่ะว่าน้อง ToT กังวลเรื่องการสอบชีวะจริงๆ

ToT · #11 18 มิถุนายน 2002, 16:27

แหะๆๆ โทษทีครับ พึ่งนึกได้เมื่อเช้าเหมือนกัน ว่าเมื่อคืนที่แทนไปเป็น x2 + 1/x2 + y2 + 1/y2

สอบมาแล้วคับผมชีวะวิทยา เมื่อคืนนั่งท่องจนปวดหัวเลย ( อ่า .. นะ ออแกลแนลล์ก็แบ่งเป็น 3 อย่าง มีเยื่อหุ้ม 2 ชั้น ได้แก่ ไมโตคอนเ.... ( - -")) ก็เลยมาเดินเล่นในบอร์ดเจอกระทู้นี้เข้าพอดี แหะๆๆ เดี๋ยวจะกลับไปคิดใหม่ครับ

nithi_rung · #12 18 มิถุนายน 2002, 19:23

ข้อ 2 ที่บอกว่าให้พิสูจน์ว่า (x+y+z)² ณ 4(xy+yz+xz) นี่เครื่องหมายกลับทางเปล่าครับ เพราะรู้สึกว่าที่เคยพิสูจน์ก็คือให้พิสูจน์ว่า
(x+y+z)² < 4(xy+yz+xz) เมื่อ x,y,z เป็นความยาวของด้านของสามเหลี่ยม ทีนี้ก็ใช้สมบัติของสามเหลี่ยมที่ว่า ผลบวกของความยาวของสองด้านของสามเหลี่ยมใด ๆ จะยาวกว่าด้านที่สาม ก็จะได้
x<y+z ฎ x²<xy+xz __(1)
y<x+z ฎ y²<xy+yz __(2)
z<x+y ฎ z²<xz+yz __(3)
บวกอสมการทั้งสามเข้าด้วยกัน แล้วก็บวก 2(xy+yz+xz) ทั้งสองข้างก็จะได้อสมการที่ต้องการ

opaaru · #13 18 มิถุนายน 2002, 19:36

อย่างที่บอกแล้วว่า เบลอมากเลยพิมพ์กลับข้าง โจทย์คือ
พิสูจน์ว่า (x+y+z)² < 4(xy+yz+xz) ;x,y,z เป็นด้านของสามเหลี่ยม

nithi_rung · #14 18 มิถุนายน 2002, 19:42

โทษครับ เครื่องหมายผิด
ตรง > เปลี่ยนเป็น < ทั้งหมดเลย

opaaru · #15 18 มิถุนายน 2002, 20:32

ขอขอบคุณ nithi_rung คับ ที่ช่วยคิดให้