The problem of tossing a coin

[Counter Striker]

Suppose there is a coin with two faces, "Head" and "Tail", and I have to toss it consecutively.

The rule is I will finish once I first get "Head".

What is an averge number of time of tossing the coin untill I get "H"?

Personally, I think the number of time may be some kind of distribution with a certain mean.

My friend said the mean is somewhere around 6 and 7 times, is that true? I've got no idea of how to prove it, can anyone do?

[gon]

ถ้าเป็นเรื่องสถิตินี่ผมไม่ค่อยชอบเลย. ลองคิดดูเล่น ๆ นะครับ ว่าสมมติว่าโยนเหรียญ 1 เหรียญจำนวน 4 ครั้งด้วยกัน ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากการโยนอาจจะเป็นดังนี้
HHHH : 1
HHHT : 1
HHTH : 1
HHTT : 1
HTHH : 1
HTHT : 1
HTTH : 1
HTTT : 1
THHH : 2
THHT : 2
THTH : 2
THTT : 2
TTHH : 3
TTHT : 3
TTTH : 4
TTTT : -
ตัวเลขข้างหลังแสดงจำนวนครั้งในการโยนแล้วขึ้นหัวครั้งแรก
จากตัวอย่างนี้ ผมสามารถกล่าวได้ไหมว่า ในการเล่นเกมส์ 16 ครั้ง จะมีอยู่ 8 ครั้งที่โยนครั้งเดียวแล้วจบเกมส์เลย, จะมีอยู่ 4 ครั้งที่โยนสองครั้งแล้วจบเกมส์, จะมีอยู่ 2 ครั้งที่โยนสามครั้งแล้วจบเกมส์, จะมีอยู่ 1 ครั้ง ที่โยนสี่ครั้งถึงจบเกมส์ และ จะมีอยู่ 1 ครั้งที่โยนแล้วพลาดทั้ง 4 ครั้งเลย

จากตัวอย่างนี้ เราสามารถสรุปได้ไหมว่าโดยเฉลี่ยแล้วจะโยนเหรียญโดยเฉลี่ย (1 + 1 + 1 + ...+ 2 + ... + 4) / 16 = 26/16 = 1.625
ดังนั้นถ้าเราเล่นเกมส์ n ครั้งจะมี อยู่ (n/2) ครั้งที่เล่นครั้งเดียวจบ, มี (n/4) ครั้งที่เล่น 2 ครั้ง มี , (n/8) ครั้งที่เล่น 3 ครั้งจบ ....
ดังนั้นโดยเฉลี่ยจะเล่น { 1(n/2) + 2(n/4) + 3(n/8) + 4(n/16) + ... (n/2ⁿ) +... } / n
ซึ่งถ้าหาผลบวกอนุกรมอนันต์ก็จะได้เท่ากับ 2n / n = 2 ครั้ง

[warut]

อาศัย commom sense ผมว่าค่าเฉลี่ย 6-7 น่าจะมากไปนะครับ เพราะโอกาสที่จะ
ออกหัวในครั้งแรกก็ปาเข้าไป 50% แล้ว ส่วนโอกาสที่จะออกหัวเป็นครั้งแรกในการ
โยนครั้งที่ 6 ก็แค่ 1/2⁶ ไม่ถึง 2%

อาศัยการคำนวณผมคิดค่าเฉลี่ยได้เท่ากับ 2 พอดี วิธีคิดของผมเป็นดังนี้ครับ
โอกาสที่จะออกหัวเป็นครั้งแรกในการโยนครั้งที่ n คือ 1/2ⁿ
ดังนั้นค่าเฉลี่ยที่ต้องการจึงมีค่าเท่ากับ
1*1/2 + 2*1/2² + 3*1/2³ + ... + n*1/2ⁿ + ...
เพื่อจะหาค่าผลบวกอนันต์ข้างต้นผมใช้ความรู้ที่ว่าเมื่อ |x| < 1เรารู้ว่า
1 + x + x² + x³ + x⁴ ... = 1/(1 - x)
ซึ่งเมื่อ differentiate จะได้ว่า
1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... = 1/(1 - x)²
เอา x คูณตลอดได้
x + 2x² + 3x³ + 4x⁴ + ... = x/(1-x)² เมื่อ |x| < 1
แทนค่า x = 1/2 ก็จะได้ค่าเฉลี่ยที่ต้องการเท่ากับ 2 ครับผม

สมมุติให้มี 2 สถานะ
A=ยังไม่เคยโยนได้หัว
B=โยนได้หัวแล้ว
สมมุติให้สัญลักษณ์ E(x) คือจำนวนครั้งเฉลี่ยที่จะต้องโยนอีก เมื่ออยู่ในสถานะ x
เราจะได้ว่า
E(A)=1+(1/2)E(A)+(1/2)E(B)
E(B)=0 เนื่องจากเมื่ออยู่ในสถานะ B ก็ไม่ต้องโยนอีก
E(A)=1+(1/2)E(A)+(1/2)(0)
E(A)=2
เนื่องจากในตอนแรกเราอยู่ที่สถานะ A ดังนั้น E(A) คือคำตอบที่เราต้องการ คือ 2 ครั้ง
(วิธีนี้คิดขึ้นมาเอง ไม่ได้อ้างอิงมาจากที่ไหน เพราะฉะนั้นช่วยดูให้แน่ใจก่อนที่จะเชื่อ)

[Counter Striker]

I think, with your method, the answer should be 3 na krub.

Suppose at the first time we get tail, then we are in the state A, right?

From your definition E(x) คือจำนวนครั้งเฉลี่ยที่จะต้อง"โยนอีก" เมื่ออยู่ในสถานะ x
and E(A) = 2

Therefore the total number of time should be 3, isn't it?

ขอโทษทีที่ใช้เวลาตั้งนานกว่าจะตอบ(ไม่ได้เข้า mathcenter เลยจนกระทั่งตอนนี้)
กรณีที่ครั้งแรกเราโยนได้หัวก็คือเราโยนไปแค่ครั้งเดียวก็คือใช้
กรณีที่เราโยนได้ก้อยก็คือเราโยนไป 1 ครั้งแล้วเข้าสู่สถานะ A นั่นก็คือจะใช้ 1+E(A)=1+2=3 ครั้ง
เนื่องจากในการโยนครั้งแรกมีโอกาสที่จะได้หัวหรือก้อยอย่างละ 1/2 เราจึงได้ว่าคำตอบคือ (1/2)(1)+(1/2)(3)=2 ครั้ง