โจทย์พีชคณิตคับ

[Ophatio]

จงหาค่าของ 2548 + $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2547 + $\frac{1}{2^2}$ $\cdot$ 2546 + ..... +$\frac{1}{2^{2546}}$ $\cdot$ 2

ทำไงอ่าคับลองหลายวิธีเเละ

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ophatio

จงหาค่าของ 2548 + $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2547 + $\frac{1}{2^2}$ $\cdot$ 2546 + ..... +$\frac{1}{2^{2546}}$ $\cdot$ 2

ทำไงอ่าคับลองหลายวิธีเเละ

ให้S = 2548 + $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2547 + $\frac{1}{2^2}$ $\cdot$ 2546 + ..... +$\frac{1}{2^{2546}}$ $\cdot$ 2 ........(1)
$\frac{1}{2}$S = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2548 + $\frac{1}{2^2}$ $\cdot$ 2547 + $\frac{1}{2^3}$ $\cdot$ 2546 + ..... + $\frac{1}{2^{2547}}$ $\cdot$ 2 ........(2)
(1) - (2);
S - $\frac{1}{2}$S = 2548 - $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{2^2}$ - $\frac{1}{2^3}$ - ..... - $\frac{1}{2^{2546}}$ - $\frac{1}{2^{2547}}$ $\cdot$ 2
= 2548 - $\frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^{2546}})}{1 - \frac{1}{2}}$ - $\frac{1}{2^{2546}}$
= 2548 - (1 - $\frac{1}{2^{2546}}$) - $\frac{1}{2^{2546}}$
= 2547
$\frac{1}{2}$S = 2547
$\therefore$ S = 2547 $\cdot$ 2 = 5094

[Puriwatt]

ขอปรับแต่งข้อความของคุณ The jumpers ให้ดูง่ายขึ้นนะครับ(คงไม่ว่ากัน)

ให้ S = $2548 + \frac{1}{2}\cdot 2547 + \frac{1}{2^2} \cdot 2546 + ..... + \frac{1}{2^{2545}} \cdot 3+ \frac{1}{2^{2546}} \cdot 2$ ........(1)
และ $\frac{S}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot 2548 + \frac{1}{2^2} \cdot 2547 + \frac{1}{2^3} \cdot 2546 + ..... + \frac{1}{2^{2546}} \cdot 3 + \frac{1}{2^{2547}} \cdot 2$ ........(2)

(1) - (2) ; จะได้ S - $\frac{S}{2}$ = $2548 +( \frac{2547-2548}{2} + \frac{2546-2547}{2^2} + \frac{2545-2546}{2^3} + ..... + \frac{2-3}{2^{2546}}) - \frac{1}{2^{2547}} \cdot 2$

$\frac{S}{2}$ = $2548+ ( - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} - ... - \frac{1}{2^{2545}} - \frac{1}{2^{2546}}) - \frac{1}{2^{2546}}$

ต่อจากนี้ทำได้ 2 แบบ คือ
แบบที่ 1
$\frac{S}{2}$ = $2548 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} - ... - \frac{1}{2^{2544}}- \frac{1}{2^{2545}} - \frac{1}{2^{2545}}$

$\frac{S}{2}$ = $2548 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} - ... - \frac{1}{2^{2543}}- \frac{1}{2^{2544}} - \frac{1}{2^{2544}}$

ทำไปเรื่อยๆแล้วจะได้ว่า $\frac{S}{2}$ = $2548 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ = 2548 -1 = 2547

แบบที่ 2
$\frac{S}{2}$ = $2548- ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^{2545}} + \frac{1}{2^{2546}}) - \frac{1}{2^{2546}}$

$\frac{S}{2}$ = $2548 - ( 1 - \frac{1}{2^{2546}}) - \frac{1}{2^{2546}}$ = 2548 -1 = 2547

จากนั้นเราก็ทำต่อ, จะได้ว่า $\therefore$ S = $2547 \cdot 2$ = 5094 เรียบร้อบโรงเรียนคุณ The jumpers ครับ

[t.B.]

โอ้ ต้องขอโทษอย่างแรงครับ ทำผิดไป ลบอันที่ผิดให้แล้วนะครับ

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

ให้S = 2548 + $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2547 + $\frac{1}{2^2}$ $\cdot$ 2546 + ..... +$\frac{1}{2^{2546}}$ $\cdot$ 2 ........(1)
$\frac{1}{2}$S = $\frac{1}{2}$ $\cdot$ 2548 + $\frac{1}{2^2}$ $\cdot$ 2547 + $\frac{1}{2^3}$ $\cdot$ 2546 + ..... + $\frac{1}{2^{2547}}$ $\cdot$ 2 ........(2)
(1) - (2);
S - $\frac{1}{2}$S = 2548 - $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{2^2}$ - $\frac{1}{2^3}$ - ..... - $\frac{1}{2^{2546}}$ - $\frac{1}{2^{2547}}$ $\cdot$ 2
= 2548 - $\frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^{2546}})}{1 - \frac{1}{2}}$ - $\frac{1}{2^{2546}}$
= 2548 - (1 - $\frac{1}{2^{2546}}$) - $\frac{1}{2^{2546}}$
= 2547
$\frac{1}{2}$S = 2547
$\therefore$ S = 2547 $\cdot$ 2 = 5094

**สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิต**
$a_1$+$a_1$r+$a_2r^2$+.....+$a_1r^n$=$\frac{a_1(r^{n+1}-1)}{r-1}$ เมื่อ $a_1,r\in \mathbb{R} $

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

**สูตรผลบวกอนุกรมเรขาคณิต**
$a_1$+$a_1$r+$a_2r^2$+.....+$a_1r^n$=$\frac{a_1(r^{n+1}-1)}{r-1}$ เมื่อ $a_1,r\in \mathbb{R} $

ขอบคุณมากครับ ที่ช่วยเคาะสนิมให้
(สูตรนี้ผมลืมไปแล้วจริงๆ ตั้งแต่ปี 2528 ไม่เคยได้ใช้เลย)

เอาเป็นว่า ที่แสดงวิธีทำนั้นสำหรับน้องๆที่ไม่รู้สูตรก็แล้วกันนะครับ