ช่วยพิสูจน์หน่อยคับ

[Amount of infinite]

1.$1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+n(n!)=(n+1)!-1$
2.$2x6x10x14x...x(4n-2)=\frac{(2n)!}{n!}$
3.$\binom{n}{k}=\binom{n-2}{k-2}+2\binom{n-2}{k-1}+\binom{n-2}{k}$
4.$\binom{2n}{n}=\frac{1x3x5x...x(2n-1)}{1x3x5x7x...xn}x2^n$
5.$\binom{2}{2}+\binom{4}{2}+\binom{6}{2}+...+\binom{2n}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$
ข้อ 5 n>2
รบกวนด้วยคับ

[owlpenguin]

1.

Hint:

Induction

2.

Hint:

Induction

3.

Solution:

จาก Pascal's Formula ที่ว่า
$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r}+\binom{n-1}{r-1}$
ดังนั้น $\binom{n-2}{k-2}+2\binom{n-2}{k-1}+\binom{n-2}{k}=(\binom{n-2}{k-2}+\binom{n-2}{k-1})+(\binom{n-2}{k-1}+\binom{n-2}{k-1})$
$=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$ ตามต้องการ

4.

Hint:

ก็ยังคงใช้ Induction ได้ครับ

5.ข้อ 5 นี้ให้ n=3 ก็เป็นเท็จครับ

[gon]

ข้อ 1 : $$n(n!) = (n + 1 - 1)n! = (n+1)n! - n! = (n+1)! - n!$$

[Aermig]

1. $1(1!)+2(2!)+3(3!)+\cdots+n(n!)$
$=[2(1!)+3(2!)+4(3!)+\cdots+(n+1)(n!)]-[1!+2!+3!+\cdots+n!]$
$=(n+1)!-1$

[The Got_SME]

ขอบคุณที่ช่วยแสดงวิธีทำครับ

[JaNuArY]

2. ทำตามขั้นตอน math induction จนถึง ว่า P(k+1) เป็นจริง

คือ$ 2 \times 6\times 10\times 14\times ...\times (4(k+1)-2)
= \frac{(2k)!}{k!} \cdot (4k+2)
= \frac{(2k)!}{k!} \cdot \frac{(4k+2)(k+1)}{(k+1)}
= \frac{(2k)!}{(k+1)!} \cdot (4k+2)(k+1)
= \frac{(2k)!}{(k+1)!} \cdot (2k+1)(2k+2)
= \frac{(2k+2)!}{(k+1)!}
= \frac{(2(k+1)!)}{(k+1)!}$

[nooonuii]

ข้อ 2 แบบไม่ใช้ induction

$\dfrac{(2n)!}{n!}=\dfrac{(1\times 3\times 5\times\cdots\times (2n-1))(2\times 4\times\cdots\times 2n)}{n!}$

$~~~~~~~=\dfrac{(1\times 3\times 5\times\cdots\times (2n-1))(2^n\cdot n!)}{n!}$

$~~~~~~~=2^n(1\times 3\times 5\times\cdots\times (2n-1))$

$~~~~~~~=2\times 6\times 10\times\cdots\times (4n-2)$