โจทย์ลำดับ แปลกๆ(รึเปล่า)

[yahazzzz]

จงหาค่าของ
1. $\frac{1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+...}{1+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}+...}$


2. $\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+...+(\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+...+\frac{99}{100} )$

3.$T_{n} = 1+2+3+...+n$ และ$ P_{n} = \frac{T_{2}T_{3}T_{4}...T_{n}}{(T_{2}-1)(T_{3}-1)(T_{4}-1)...(T_{n}-1)}$ สำหรับ n=2 3 4 ... จงหาลิมิตของลำดับ $P_{n}$นี้

ขอขอบคุณทุกท่านที่ช่วยคิดครับ

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yahazzzz

3.$T_{n} = 1+2+3+...+n$ และ$ P_{n} = \frac{T_{1}T_{2}T_{3}...T_{n}}{(T_{1}-1)(T_{2}-1)(T_{3}-1)...(T_{n}-1)}$ สำหรับ n=2 3 4 ... จงหาลิมิตของลำดับ $P_{n}$นี้

น่าจะเริ่มที่ $T_{2}$ นะครับไม่งั้นส่วนเป็น 0

[yahazzzz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

น่าจะเริ่มที่ $T_{2}$ นะครับไม่งั้นส่วนเป็น 0

ขอบคุณที่ช่วยเตือนคับ แก้แล้ว

[Liueifei]

ใครก็ได้เเสดงวิธีคิดข้อเเรกหน่อยดิ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yahazzzz

จงหาค่าของ
1. $$\frac{1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+...}{1+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}+...}$$

ให้ $S=1+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\cdots$

$T=\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots$

$~~=\dfrac{1}{2^3}(1+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\cdots)$

$~~=\dfrac{S}{8}$

$U=1+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{5^3}+\cdots$

$~~=S-T$

$~~=\dfrac{7S}{8}$

ดังนั้น

$\dfrac{1-\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}-\dfrac{1}{4^3}+\dfrac{1}{5^3}+...}{1+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{5^3}+\dfrac{1}{7^3}+\dfrac{1}{9^3}+...} =\dfrac{U-T}{U}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{7S/8-S/8}{7S/8}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{6}{7}$

[owlpenguin]

2. ให้ $T_{n}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
ได้ว่าผลบวกเท่ากับ $\displaystyle\sum_{n = 2}^{100}\sum_{i = 1}^{n-1}\frac{i}{n}=\sum_{n = 2}^{100}\frac{T_{n-1}}{n}$
$\displaystyle=\sum_{n = 2}^{100}\frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n}=\sum_{n = 2}^{100}\frac{n-1}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n = 1}^{99}n=2475$

3.$\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{T_{n}}{T_{n}-1}=\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{(n-1)(n+2)}{2}}=\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{n(n+1)}{(n-1)(n+2)}$
$\displaystyle =\frac{2\times 3\times 3\times 4\times\cdots}{1\times 4\times 2\times 5\times 3\times 6\times\cdots}$
$\displaystyle =\frac{(2)(3^2)(4^2)\cdots}{(2)(3)(4^2)(5^2)\cdots}=3$

ไม่แน่ใจข้อ 3 นะครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

2. ให้ $T_{n}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
ได้ว่าผลบวกเท่ากับ $\displaystyle\sum_{n = 2}^{100}\sum_{i = 1}^{n-1}\frac{i}{n}=\sum_{n = 2}^{100}\frac{T_{n-1}}{n}$
$\displaystyle=\sum_{n = 2}^{100}\frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n}=\sum_{n = 2}^{100}\frac{n-1}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n = 1}^{99}n=2475$

3.$\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{T_{n}}{T_{n}-1}=\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{(n-1)(n+2)}{2}}=\displaystyle\prod_{n = 2}^{\infty}\frac{n(n+1)}{(n-1)(n+2)}$
$\displaystyle =\frac{2\times 3\times 3\times 4\times\cdots}{1\times 4\times 2\times 5\times 3\times 6\times\cdots}$
$\displaystyle =\frac{(2)(3^2)(4^2)\cdots}{(2)(3)(4^2)(5^2)\cdots}=3$

ไม่แน่ใจข้อ 3 นะครับ

ถูกแล้วครับจาก $$\prod_{n = 2}^{m} \frac{n(n+1)}{(n-1)(n+2)}=\frac{3m}{m+2}$$ นะครับ ดังนั้นเมื่อ $m\rightarrow \infty $ จะได้ $\prod_{n = 2}^{\infty} \frac{n(n+1)}{(n-1)(n+2)}=3$ ครับ