Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 23 กรกฎาคม 2008, 21:33
mathstudent2's Avatar
mathstudent2 mathstudent2 ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มีนาคม 2007
ข้อความ: 66
mathstudent2 is on a distinguished road
Default จำนวนเฉพาะ

มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป n^2+1 เมื่อ n เป็นจำนวนนับ อยู่เป็นอนันต์หรื่อไม่
แสดงวิธีหาคำตอบ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 23 กรกฎาคม 2008, 21:57
dektep's Avatar
dektep dektep ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 มีนาคม 2007
ข้อความ: 582
dektep is on a distinguished road
Default

ข้อนี้เป็น open problem อยู่ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 25 กรกฎาคม 2008, 14:55
murderer@IPST's Avatar
murderer@IPST murderer@IPST ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 เมษายน 2008
ข้อความ: 61
murderer@IPST is on a distinguished road
Default

ถ้ามีคนรู้แล้วมันจะเอามาออกIMOมั้ยครับเนี่ย
__________________
"I am the bone of my sword.
Steel is my body, and fire is my blood.
I have created over a thousand blades.
Unknown to death. Nor known to life.
Have withstood pain to create many weapons.
Yet, those hands will never hold anything.
So as I pray, "Unlimited Blade Works."
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 25 กรกฎาคม 2008, 18:23
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,761
nooonuii is on a distinguished road
Default

จริงๆแล้วโจทย์ IMO #3 ปีนี้จะ trivial ไปเลยถ้าเราสามารถพิสูจน์ว่า

มีจำนวนเฉพาะในรูป $4k^2+1$ เป็นจำนวนอนันต์ ครับ
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 27 กรกฎาคม 2008, 13:57
Spotanus's Avatar
Spotanus Spotanus ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มีนาคม 2007
ข้อความ: 171
Spotanus is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathstudent2 View Post
มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป n^2+1 เมื่อ n เป็นจำนวนนับ อยู่เป็นอนันต์หรื่อไม่
แสดงวิธีหาคำตอบ
แสดงว่า คุณ mathstudent2 พิสูจน์ได้แล้วใช่ม๊ยละครับ
__________________
ในโลกนี้มีอสมการมากมายที่กระจายไม่ออก
ดังนั้นถ้ารู้ว่าตนกระจอกก็อย่าอาย
ถ้าอยากออกก็ต้องกระจาย จะได้ไม่ต้องอายที่ตนกระจอก


(Vasc's)
$$\left( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2} \geq 3\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 31 กรกฎาคม 2008, 16:21
mathstudent2's Avatar
mathstudent2 mathstudent2 ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มีนาคม 2007
ข้อความ: 66
mathstudent2 is on a distinguished road
Default

ถ้าผมพิสูจน็ได้คงไม่ต้องมาถามคนเก่งอย่างพี่ๆ หรอกครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 01 สิงหาคม 2008, 20:59
dektep's Avatar
dektep dektep ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 มีนาคม 2007
ข้อความ: 582
dektep is on a distinguished road
Default

คุณ mathstudent2 บอกผมว่าทำได้แล้วไม่ใช่เหรอครับ
เอาวิธีทำมาลงเลยครับ 555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 01 สิงหาคม 2008, 21:09
RoSe-JoKer's Avatar
RoSe-JoKer RoSe-JoKer ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤศจิกายน 2007
ข้อความ: 390
RoSe-JoKer is on a distinguished road
Default

สมมุติว่ามี prime ที่เขียนในรูป $n_i^2+1$ เป็นจำนวนจำกัด ให้เป็น
$p_1,p_2,...,p_k$
ให้ $a_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่เหลือที่ไม่ใช่ $p_1,...,p_k$
เห็นได้ว่า
$(p_1p_2...p_ka_1a_2...)^2+1$ เป็น prime เกิดข้อขัดแย้ง
















(พูดเล่นครับ)
__________________
Rose_joker @Thailand
Serendipity

01 สิงหาคม 2008 21:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RoSe-JoKer
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 01 สิงหาคม 2008, 21:23
JanFS JanFS ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 40
JanFS is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer View Post
สมมุติว่ามี prime ที่เขียนในรูป $n_i^2+1$ เป็นจำนวนจำกัด ให้เป็น
$p_1,p_2,...,p_k$
ให้ $a_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่เหลือที่ไม่ใช่ $p_1,...,p_k$
เห็นได้ว่า
$(p_1p_2...p_ka_1a_2...)^2+1$ เป็น prime เกิดข้อขัดแย้ง
















(พูดเล่นครับ)
"- - ทำผมซีดไปเลยครับ ก่อนจะอ่านล่างสุดเนี่ย -*-
__________________
ผักกาด - Pakaj
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 01 สิงหาคม 2008, 23:59
Anonymous314's Avatar
Anonymous314 Anonymous314 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 มีนาคม 2008
ข้อความ: 546
Anonymous314 is on a distinguished road
Default

ใครคิดได้โคตรเก่งเลยครับ ขอคารวะเลย
__________________
...ผมเชื่อว่าทุกคนเคยแพ้ ผมเชื่อว่าทุกคนเคยล้มเหลว
แต่คนแพ้ไม่ใช่คนที่ล้มเหลว คนล้มเหลวคือ...คนที่ล้มเลิกต่างหาก

เพราะแสวงหา มิใช่เพราะรอคอย
เพราะเชี่ยวชาญ มิใช่เพราะโอกาส
เพราะสามารถ มิใช่เพราะโชคช่วย

ดังนี้แล้ว "ลิขิตฟ้าหรือจะสู้มานะตน"...
เกลียดเสื้อแดง วัน ๆ เก่งแต่ปิดถนน แต่ก็ทำอะไรไม่เป็น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 02 สิงหาคม 2008, 19:56
mathstudent2's Avatar
mathstudent2 mathstudent2 ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มีนาคม 2007
ข้อความ: 66
mathstudent2 is on a distinguished road
Default

ผมไม่มั่นใจนะครับให้พวกพี่ช่วย check อีกทีแล้วกัน

ให้ P1<P2<P3<......<Pm เป็นจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เขียนในรูป n^2+1

กำหนด N(m+1) เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนท่ีมีค่า น้อยกว่า หรือ เท่ากับ Pm
สร้าง {N(m+1)}^2 +1 จะได้ว่าจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2,3,5,.....,Pm หาร {N(m+1)}^2 +1 เหลือเศษ 1
ซึ่ง square root {N(m+1)}^2 +1 > N(m+1) ดังนั้น {N(m+1)}^2 +1 เป็นจำนวนเฉพาะ

นั่นคือ N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีจำกัด ขัดแย้ง
ไดว่า N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์

*-* *-*
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 02 สิงหาคม 2008, 20:15
owlpenguin's Avatar
owlpenguin owlpenguin ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 มีนาคม 2008
ข้อความ: 386
owlpenguin is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathstudent2 View Post
ผมไม่มั่นใจนะครับให้พวกพี่ช่วย check อีกทีแล้วกัน

ให้ P1<P2<P3<......<Pm เป็นจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เขียนในรูป n^2+1

กำหนด N(m+1) เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนท่ีมีค่า น้อยกว่า หรือ เท่ากับ Pm
สร้าง {N(m+1)}^2 +1 จะได้ว่าจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2,3,5,.....,Pm หาร {N(m+1)}^2 +1 เหลือเศษ 1
ซึ่ง square root {N(m+1)}^2 +1 > N(m+1) ดังนั้น {N(m+1)}^2 +1 เป็นจำนวนเฉพาะ

นั่นคือ N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีจำกัด ขัดแย้ง
ไดว่า N^2+1 เป็นจำนวนเฉพาะมีเป็นอนันต์

*-* *-*
เท็จแน่นอนครับ เพราะว่ามันก็ยังมีจำนวนเฉพาะที่ไม่สามารถเขียนในรูป $n^2+1$ ที่หาร $\displaystyle\prod_{i = 1}^{m}P_i$ ลงตัวครับ

02 สิงหาคม 2008 20:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 02 สิงหาคม 2008, 22:10
RoSe-JoKer's Avatar
RoSe-JoKer RoSe-JoKer ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤศจิกายน 2007
ข้อความ: 390
RoSe-JoKer is on a distinguished road
Default

เออ...
สมมุติ $p_1,p_2,...p_m$ คือจำนวนเฉพาะที่เขียนได้ในรูป $n^2+1$ แล้วให้ $a_1,a_2,...,a_s$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ในรูป $n^2+1$ ที่มีค่าน้อยกว่า $p_m$
คือจะให้ $(p_1p_2...p_ma_1a_2...a_s)^2+1$ เป็น prime แล้วเช็คตัวที่หารลงตัวที่น้อยกว่า $p_m$ ไม่ได้ เพราะว่ามันอาจมีจำนวนเฉพาะ q ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า
$p_m< q <p_1p_2...p_ma_1a_2...a_s$
__________________
Rose_joker @Thailand
Serendipity
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 23 กันยายน 2008, 09:55
breeze123 breeze123 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กุมภาพันธ์ 2007
ข้อความ: 34
breeze123 is on a distinguished road
Default

ก่อนอื่นจะพิสูจน์ว่าถ้า
$P_n$ เป็นจำนวนเฉพาะ โดยที่ $P_1 =2 $
และ $P_1<P_2<P_3<...<P_n$ แล้ว
$(P_1P_2P_3....P_n)^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
จากทฤษฎีบทของจำนวนว่า
n จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ จำนวนเฉพาะ ที่มีค่า ตั้งแต่ 2 ถึง $\sqrt{n}$
ไม่สามารถหาร n ลงตัว
พิจารณา
ให้ $(P_1P_2P_3....P_n)^2+1=k$
จะได้ $k-1\equiv 0 \pmod{P_1}$ $k \equiv 1 \pmod{P_1}$
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_2}$ $ k \equiv 1 \pmod{P_2}$
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_3}$ $k \equiv 1 \pmod{P_3}$
.....
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_n}$ $k \equiv 1 \pmod{P_n}$
นั่นคือ
จำนวนเฉพาะตั้งแต่ $2-\sqrt{k}$ ไม่สามารถหาร k ลงตัว (เหลือเศษ 1 )
ดังนั้น $k$ เป็นจำนวนเฉพาะ
พูดง่ายๆก็คือ เช่น
$2^2+1=5$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-5 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5)^2+1=901$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-901 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5x7x....x901)^2+1 = m$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-m มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5x7x...xm)^2+1=n$
แล้วก็นำจำนวนเฉพาะจาก 2-n มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
ไปเรื่อยๆ ก็จะเป็นอนันต์ตัว
............................................
555+
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 24 กันยายน 2008, 09:29
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,761
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ breeze123 View Post
ก่อนอื่นจะพิสูจน์ว่าถ้า
$P_n$ เป็นจำนวนเฉพาะ โดยที่ $P_1 =2 $
และ $P_1<P_2<P_3<...<P_n$ แล้ว
$(P_1P_2P_3....P_n)^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
จากทฤษฎีบทของจำนวนว่า
n จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ จำนวนเฉพาะ ที่มีค่า ตั้งแต่ 2 ถึง $\sqrt{n}$
ไม่สามารถหาร n ลงตัว
พิจารณา
ให้ $(P_1P_2P_3....P_n)^2+1=k$
จะได้ $k-1\equiv 0 \pmod{P_1}$ $k \equiv 1 \pmod{P_1}$
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_2}$ $ k \equiv 1 \pmod{P_2}$
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_3}$ $k \equiv 1 \pmod{P_3}$
.....
$k-1 \equiv 0 \pmod{P_n}$ $k \equiv 1 \pmod{P_n}$
นั่นคือ
จำนวนเฉพาะตั้งแต่ $2-\sqrt{k}$ ไม่สามารถหาร k ลงตัว (เหลือเศษ 1 )
ดังนั้น $k$ เป็นจำนวนเฉพาะ
พูดง่ายๆก็คือ เช่น
$2^2+1=5$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-5 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5)^2+1=901$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-901 มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5x7x....x901)^2+1 = m$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นำจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2-m มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
$(2x3x5x7x...xm)^2+1=n$
แล้วก็นำจำนวนเฉพาะจาก 2-n มาสร้างจำนวนเฉพาะตัวต่อไป
ไปเรื่อยๆ ก็จะเป็นอนันต์ตัว
............................................
555+
แต่ $\sqrt{k}>P_1P_2\cdots P_n>\cdots > P_n>\cdots > P_1$

จึงยังเหลือจำนวนเฉพาะอีกบานเบอะที่วิธีข้างบนยังเช็คไม่ได้

ไม่อยากสกัดดาวรุ่งเลยครับ อยากให้เป็นจริง !!!!
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:43


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha