ห้องปัญหาคณิตศาสตร์

[ธรณินทร์]

กำหนดให้ (1/a)+(1/b)+(1/c) = 1 จงแก้สมการ โดยที่ a, b, c เป็นจำนวนเต็มบวกและไม่ซ้ำกันด้วย

[WiZz]

หาคำตอบได้ว่าเป็น 1/2 + 1/3 + 1/6
ผมใช้วิธีลุยไล่ค่าเอาอะคับ ไม่แน่ใจว่าจะมีคำตอบอื่นอีกรึป่าว
ผมลองให้ 1 = (x1+x2+x3)/x โดยที่ x1 และ x2 และ x3 เป็นจำนวนเต็มบวกที่หาร x ลงตัว และเมื่อบวกกันเข้าด้วยกันแล้วจะมีค่าเท่ากับ x และยังต้องมีค่าต่างกัน
จากข้างต้นจะเห็นได้ว่า x จะเป็นจำนวนเฉพาะไม่ได้ ผมก้อลองไล่ค่าจาก 4, 6,.... แล้วก้อเจอคำตอบตอน x=6 พอดี โดย x1=3 x2=2 และ x3=1 ผมคิดว่าน่าจะมีวิธีที่ดีกว่านี้อะคับ แต่ยังคิดไม่ออก ขอเวลาอีกหน่อยนะคับ

[gon]

วิธีหนึ่งที่คิดได้ตอนนี้ คือ

โดยไม่เสียนัยสำคัญ สมมติให้ a < b < c จะได้ว่า a ณ 1, b ณ 2, c ณ 3

จาก 1/a + 1/b + 1/c = 1 จะได้ว่า ab + bc + ca = abc ฎ abc - (ab + bc + ca) = 0 ... (1)

(1 - a)(1 - b)(1 - c) = 1 - (a + b + c) + (ab + bc + ca) - abc
\ (1 - a)(1 - b)(1 - c) = 1 - (a + b + c) (จาก (1))
(a - 1)(b - 1)(c - 1) = a + b + c -1
(a - 1)(b - 1)(c - 1) - (a - 1) = b + c
(a - 1)[ (b - 1)(c - 1) - 1 ] = b + c ... (2)

จาก (2) เห็นได้ชัดเจนว่า a น 1 นั่นคือ a ณ 2, b ณ 3, c ณ 4

a- 1 = (b + c)/(bc - b - c) ... (3)

แต่ a - 1 ฮ I⁺ และ b + c > 0 แสดงว่า bc - b - c > 0

นั่นคือ b + c ณ bc - b - c ฎ bc - 2b - 2c ฃ 0
b(c - 2) - 2c + 4 ฃ 4 ฎ (b - 2)(c - 2) ฃ 4

แต่ (1)(1), (1)(2), (1)(3), (1)(4), (2)(2) ฃ 4
และทั้ง b - 2 >, c - 2 ต่างก็ > 0 และ b - 2 < c - 2 นั่นคือที่เป็นไปได้จะมี 3 กรณี

กรณีที่ 1 : b - 2 = 1, c - 2 = 2 ฎ (b, c) = (3, 4)
กรณีที่ 2 : b - 2 = 1, c - 2 = 3 ฎ (b, c) = (3, 5)
กรณีที่ 3 : b - 2 = 1, c - 2 = 4 ฎ (b, c) = (3, 6)

ในแต่ละกรณี เมื่อแทนค่าลงใน 1/a + 1/b + 1/c = 1 จะพบว่า a = 2 เท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ (a, b, c) = (2, 3, 6) เป็นคำตอบที่เป็นไปได้ชุดเดียวเท่านั้น

note คำตอบทั้งหมดจริง ๆ ต้องวนลูป (loop)ได้ 6 ชุด คือ (a, b, c) = (2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2)

[nooonuii]

ผมขอเสนออีกวิธีนึงครับ

โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า a < b < c ดังนั้น 1/c < 1/b < 1/a
สังเกตว่า 1/a , 1/b , 1/c < 1 เสมอ ดังนั้น
1 < a < b < c นั่นคือ a ณ 2 , b ณ 3 , c ณ 4
สังเกตอีกอย่างหนึ่งว่า ในบรรดา 1/a , 1/b , 1/c จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่า ณ 1/3 (ทำไม?) เราจึงได้ว่า
1/a ณ 1/3 หรือ 1/b ณ 1/3 (1/c ฃ 1/4 < 1/3)
ดังนั้น a = 2 หรือ a = 3 หรือ b = 3
กรณีที่ 1 a = 2 จะได้ bc = 2b + 2c หรือ (b - 2)(c - 2) = 4
เลือกเฉพาะกรณีที่เป็นไปได้ จะได้ b = 3 , c = 6
กรณีที่ 2 a = 3 ทำคล้ายๆกับกรณีแรกได้สมการ (2b - 3)(2c - 3) = 9 แต่จะไม่ได้คำตอบตามเงื่อนไขที่ตั้งไว้
กรณีที่ 3 b = 3 ตั้งสมการเหมือนกรณีที่ 2 และได้คำตอบเหมือนกรณีที่ 1

ดังนั้น คำตอบคือ (2,3,6)
หมายเหตุ อย่างที่พี่ gon บอกไว้ครับว่าคำตอบจริงๆต้องมี 6 ชุด คือวิธีเรียงสับเปลี่ยนของคำตอบข้างบน (3! วิธี) เนื่องจากสมการมีสมมาตรในตัวแปรครับ

จงหาเศษส่วน 3 จำนวนที่อยู่ระหว่าง 5/8 กับ 3/4

[nooonuii]

ไม่เข้าใจโจทย์ข้อใหม่ครับว่าหมายถึงอะไร ถ้าตีความตามโจทย์ที่ให้มาผมว่าหาไม่ยากนะครับสามตัวที่ว่า

เริ่มจากเอา 5/8 กับ 3/4 มาเฉลี่ยกันก็จะได้ 11/16 จากนั้นก็เอา 5/8 กับ 11/16 มาเฉลี่ยกันอีกก็ได้ 21/32 ทำอีกครั้งได้ 41/64 ครบแล้วครับสามตัว เรียงค่าได้เป็น

5/8 < 41/64 < 21/32 < 11/16 < 3/4

[ธรณินทร์]

ขอแก้ไขโจทย์ครับ ผมลืมบอกไปว่า เศษส่วนที่อยู่ระหว่าง 5/8 กับ 3/4 นั้น จะต้องมีส่วนเป็น 32 ครับ อิอิ....

[nooonuii]

5/8 < 21/32 < 22/32 < 23/32 < 3/4

มีสามค่าเท่านั้นครับที่มีส่วนเป็น 32

I have a problem. Suppose ab+bc+ca>=0. Prove that
(ab)^9+(bc)^9+(ca)^9>=0.

[nooonuii]

โอ งานนี้เซียนตัวจริงมาเองเลย อิอิ สนุกครับ เข้ามาบ่อยๆนะครับ อยากศึกษาแนวคิดแปลกๆจากคนเก่งอิอิ

ข้อนี้ solve โดยใช้บทความชุดที่ 1 ของผมได้ครับ ใช่มั้ยครับพี่ SJK

You are right, great! I try to build a more harder problem using this idea. I just see the topic you wrote and posted on this web, it's a wonderful job.

ให้หาตัวเลขที่แทนตัวอักษรต่อไปนี้ ให้ผลลัพธ์ในทุกแนวเป็น 0[*]null[IMG]C:\Documents and Settings\user\My Documents\My Pictures\cross-math[/IMG]

[ธรณินทร์]

จากโจทย์ข้อข้างบน เนื่องจากผิดพลาดทางเทคนิค คราวนี้มีรูปมาให้ดูแล้วจ้ะ

[nooonuii]

ไม่ยากนี่ครับ ลองดูว่าที่ว่างตรงไหนที่เติมได้แล้วบ้างจากนั้นก็ไล่ไปเรื่อยๆ จนจบได้เองครับ เริ่มจากบนขวาก่อน

[ธรณินทร์]

Today Pete have pieces of cake. Pete wants to share cake to his friends. His friends are Joe, Bob and Tom. Joe is the first person. He take cake are 1 in 2 of all cakes and 1 in 2 piece of cake. Bob is the second person. He take cake are 1 in 2 of remian from Joe and he take 1 in 2 piece of cake. and the last person, Tom. Tom take cake are 1 in 2 of remian from Bob and he take 1 in 2 piece of cake. How many Pete's pieces of cake.