ช่วยผมพิสูจน์ ตรีโกณ ทีครับ

[InI-Dea~]

$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$

ช่วยพิสูจน์ทีครับ มันมาจากไหนอะ

sin(-a) = -sin a
cos(-a) = cos a

ช่วยทีนะครับ

[teamman]

ถ้าให้ผมพิสูจน์นะคับ ผมว่าถ้าเราวาดรูปสาสามเหลี่ยมด้านด่านมา 1 รูป จากนั้นก็ลากสูงลงมา แล้วก็หาค่าด้านที่เหลือให้ครบ แล้วก็เอาไปแทน ใน สมการข้างบน
แบบนี้จะถือเป็นการพิสูจนืรึป่าวคับ หรือว่า ถ้าใช้ พวก $cosec^2a-cot^2a = 1$ มาอ้างได้หรือ่าวคับ

[t.B.]

พิสูจน์ $sin^2\theta +cos^2\theta =1$
จากพีทากอรัสก็ได้ครับ

$\because ข้าม^2 + ชิด^2=ฉาก^2$
$\frac{ข้าม^2 + ชิด^2}{ฉาก^2} =1$
$\frac{ข้าม^2}{ฉาก^2} +\frac{ชิด^2}{ฉาก^2} =1$
$\therefore sin^2\theta +cos^2\theta =1 $

ส่วน $sin(\theta )=-sin\theta$ พิสูจน์จากวงกลม1หน่วยลองวาดรูปกำหนดมุมดูแล้วจะเห็นครับ $cos(-\theta )$ ก็เช่นเดียวกันครับ

[teamman]

ผมชอบวิธี พิสูจน์อันแรกของ คุณt.B.มากเลยคับ ผมเพิ่งเคยเห็น

[[SIL]]

ส่วนการใช้สูตร $cosec^2\theta-cot^2\theta=1 มาพิสูจน์ sin^2\theta+cos^2\theta=1$ คงไม่ได้อ่ะครับเพราะที่เราจะใช้พิสูจน์นั้นมันสร้างมาจากสูตรที่เราอยากพิสูจน์นั่นเอง ไม่ได้
ปล. คุณ t.b. พิสูจน์เจ๋งดีครับ ชอบ

[InI-Dea~]

-*-

อ้่า
จากคุณ t.B.'s
ตอนแรก ผมกะจะใช่ ปิทากอรัฐ เหือนกัน นะครับ
แต่มันเป็นแค่ ทฤษฏี ไม่ใช่หรอครับ
จะอ้างอิง ได้อย่างไร

ส่วยคุณ teamman กับ [SIL]
อ้าอิงจาก
$cosec^2\theta-cot^2\theta=1


มาพิสูจน์
sin^2\theta+cos^2\theta=1

เดี๋ยวพอถามว่า cosec^2\theta-cot^2\theta=1 มาได้อย่างไร

ก็ตอบว่า มาจาก sin^2\theta+cos^2\theta=1 $ อีกอ่า -*-

ไม่มีวิธีอื่นมั้งหรอครับ

[t.B.]

งั้นถ้าไม่ให้ทฤษฏี ก็ไปพิสูจน์พีทากอรัสมาก่อนแล้วค่อยมาใช้ก็ได้หนิครับ ส่วนวิธีพิสูจน์พีทากอรัสก็มีเยอะแยะเลือกตามใจชอบเลย

ปล.ผมไม่รู้ว่าคุณ InI-Dea~ ต้องการแบบไหนนะครับ คำว่าพิสูจน์ ก็แค่ทำให้เห็นว่ามันเป็นจริง ก็เพียงพอแล้วไม่่ว่าจะใช้นิยามหรือทฤษฏีหรือสัจพจน์ ก็ได้ทั้งนั้น

[gnopy]

ถ้าเป็นผมนะ เอกลักษณ์นี้เค้าอ้างมาจาก วงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมีสมการเป็น $x^2+y^2=1$
แล้วเค้าก็กำหนดกติกาขึ้นมาว่า ให้ x =cos$\theta$ และ y =sin$\theta$
อันนี้เนี่ย เค้าเรียกว่าแปลงจากระบบพิกัดฉาก ไปเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว
แทน x และ y เข้าไปในสมการก็จะเป็น $sin^2\theta+cos^2\theta=1$
ความจริงถ้าเค้านิยามจากวงกลม k หน่วย ก็จะได้สมการเป็น
$sin^2\theta+cos^2\theta=k^2$

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

ถ้าเป็นผมนะ เอกลักษณ์นี้เค้าอ้างมาจาก วงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมีสมการเป็น $x^2+y^2=1$
แล้วเค้าก็กำหนดกติกาขึ้นมาว่า ให้ x =cos$\theta$ และ y =sin$\theta$
อันนี้เนี่ย เค้าเรียกว่าแปลงจากระบบพิกัดฉาก ไปเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว
แทน x และ y เข้าไปในสมการก็จะเป็น $sin^2\theta+cos^2\theta=1$
ความจริงถ้าเค้านิยามจากวงกลม k หน่วย ก็จะได้สมการเป็น
$sin^2\theta+cos^2\theta=k^2$

สมการ $x^2+y^2=1$ ก็มาจากสูตรระยะทางของโลคัสของจุดP(x,y)กับจุด(0,0) ครับ ซึ่งสูตรระยะทางในพิกัดฉากก็มาจากพีทากอรัสอีกเช่นกัน
ส่วน x =cos$\theta$ และ y =sin$\theta$ นั่นก็ไม่จริงครับ จริงๆแล้วที่รู้ว่า x,y เป็นอย่างนั้น เพราะลากเส้นจากจุด(0,0) ออกมา สมมติยาว r หน่วย ได้ว่า $x=rcos\theta ,y=rsin\theta$ แล้วใช้พีทากอรัส จะได้ว่า
$r^2cos^2\theta +r^2sin^2\theta = r^2$
$\therefore sin^2\theta+cos^2\theta=1$ เสมอครับ(ไม่เท่ากับ k ใดๆ ด้วยครับ)
ในกรณีที่ x =cos$\theta$ และ y =sin$\theta$ เพราะ r=1 ครับ

[InI-Dea~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

สมการ $x^2+y^2=1$ ก็มาจากสูตรระยะทางของโลคัสของจุดP(x,y)กับจุด(0,0) ครับ ซึ่งสูตรระยะทางในพิกัดฉากก็มาจากพีทากอรัสอีกเช่นกัน
ส่วน x =cos$\theta$ และ y =sin$\theta$ นั่นก็ไม่จริงครับ จริงๆแล้วที่รู้ว่า x,y เป็นอย่างนั้น เพราะลากเส้นจากจุด(0,0) ออกมา สมมติยาว r หน่วย ได้ว่า $x=rcos\theta ,y=rsin\theta$ แล้วใช้พีทากอรัส จะได้ว่า
$r^2cos^2\theta +r^2sin^2\theta = r^2$
$\therefore sin^2\theta+cos^2\theta=1$ เสมอครับ(ไม่เท่ากับ k ใดๆ ด้วยครับ)
ในกรณีที่ x =cos$\theta$ และ y =sin$\theta$ เพราะ r=1 ครับ

ใช่ครับ อย่างที่คุณ t.B. บอก

เอ่อ -*- งั้น ขอพิสูจน์ พีทากอรัส หน่ิอยครับ สัก 2 แบบ

แล้ว
sin(-a) = -sin a
cos(-a) = cos a
พอจะมีบทพิสูจน์ไหมครับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ InI-Dea~

ใช่ครับ อย่างที่คุณ t.B. บอก

เอ่อ -*- งั้น ขอพิสูจน์ พีทากอรัส หน่ิอยครับ สัก 2 แบบ

แล้ว
sin(-a) = -sin a
cos(-a) = cos a
พอจะมีบทพิสูจน์ไหมครับ

พิสูจน์แบบนี้ได้หรือปล่าวครับ
sin(-a)=sin(0-a)=sin0cosa-sinacos0=-sina ตามต้องการ
cos(-a)=cos(0-a)=cos0cosa+sin0sina=cosa ตามต้องการ

[InI-Dea~]

ถึงคุณ[SIL]

เยี่ยมมากเลยครับ

ขอบคุณครับๆ

[Puriwatt]

ผมชอบวิธีของคุณ t.B. มากเลยอยากวาดรูปให้ดูครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

พิสูจน์ $sin^2\theta +cos^2\theta =1$
จากพีทากอรัสก็ได้ครับ

$\because ข้าม^2 + ชิด^2=ฉาก^2$
$\frac{ข้าม^2 + ชิด^2}{ฉาก^2} =1$
$\frac{ข้าม^2}{ฉาก^2} +\frac{ชิด^2}{ฉาก^2} =1$
$\therefore sin^2\theta +cos^2\theta =1 $

ส่วน $sin(\theta )=-sin\theta$ พิสูจน์จากวงกลม1หน่วยลองวาดรูปกำหนดมุมดูแล้วจะเห็นครับ $cos(-\theta )$ ก็เช่นเดียวกันครับ

และ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

สมการ $x^2+y^2=1$ ก็มาจากสูตรระยะทางของโลคัสของจุดP(x,y)กับจุด(0,0) ครับ ซึ่งสูตรระยะทางในพิกัดฉากก็มาจากพีทากอรัสอีกเช่นกัน
ส่วน x =cos$\theta$ และ y =sin$\theta$ นั่นก็ไม่จริงครับ จริงๆแล้วที่รู้ว่า x,y เป็นอย่างนั้น เพราะลากเส้นจากจุด(0,0) ออกมา สมมติยาว r หน่วย ได้ว่า $x=rcos\theta ,y=rsin\theta$ แล้วใช้พีทากอรัส จะได้ว่า
$r^2cos^2\theta +r^2sin^2\theta = r^2$
$\therefore sin^2\theta+cos^2\theta=1$ เสมอครับ(ไม่เท่ากับ k ใดๆ ด้วยครับ)
ในกรณีที่ x =cos$\theta$ และ y =sin$\theta$ เพราะ r=1 ครับ

จากรูปจะเห็นว่าจุด $R'(x,y)$ บนวงกลมรัศมี 1 หน่วย สามารถเขียนได้เป็น $R'(sin \theta , cos \theta )$
และระยะตามแกน x เป็น $ cos \theta $ และระยะตามแกน y เป็น $sin \theta $ ตามลำดับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ InI-Dea~

ใช่ครับ อย่างที่คุณ t.B. บอก
แล้ว sin(-a) = -sin a
cos(-a) = cos a พอจะมีบทพิสูจน์ไหมครับ

การให้พิกัดของจุดบนระนาบ xy ใดๆ สามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ
พิกัด (x,y) ซึ่งบอกระยะห่างระหว่างจุดกับแกน y และแกน x ตามลำดับ โดยอ้างอิงเทียบกับจุดกำเนิด (0,0) และ
พิกัด (r,$ \theta$) ซึ่ง r บอกระยะที่จุดนี้ห่างจากจุดกำเนิด (0,0) และ$ \theta$ คือมุมที่ทำกับแกน x(ทวนเข็มเป็นบวก)

สำหรับ $sin(- \theta )$ = $-sin( \theta )$ หรือ $cos(- \theta )$ = $cos( \theta )$ เป็นนิยาม ที่เอาไว้ใช้ในการพิสูจน์สูตรต่างๆทางตรีโกณฯครับ
ที่หาได้จากกราฟรูปวงกลมรัศมี 1 หน่วย ที่มีจุด A(1,$ \theta$) เป็นพิกัดเชิงมุม และมีพิกัด (x,y) เป็น ($cos\theta , sin\theta$)ครับ

จะได้ว่า $cos(- \theta )$ และ $sin(- \theta )$ หาได้จากจุดที่มีพิกัดเชิงมุมเป็น (1,$-\theta$) และมีพิกัด (x,y) เป็น ($cos\theta , -sin\theta$)
ลองวาดรูปดูซิครับ เริ่มจากมุมไม่เกิน 90 องศาก่อน (ผมว่าถ้าไม่เข้าใจก็หาหนังสืออ่านเอาก็ได้นะครับ)

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ InI-Dea~

ใช่ครับ อย่างที่คุณ t.B. บอก

เอ่อ -*- งั้น ขอพิสูจน์ พีทากอรัส หน่ิอยครับ สัก 2 แบบ

แล้ว
sin(-a) = -sin a
cos(-a) = cos a
พอจะมีบทพิสูจน์ไหมครับ

วิธีพิสูจน์พีทากอรัสมีบานตะไทครับลอง search google ดู