ลงท้ายด้วย 0

[faa]

ผลคูณของ $(1)(4)(7)(10)(13)...(997)(1000)$ ลงท้ายด้วย 0 กี่ตัว
ตอบ 85 ตัว ขอแนวคิดด้วยครับ

[nongtum]

ถ้าเข้าใจแนวคิดการหาจำนวนเลขศูนย์ลงท้ายของ $n!$ ที่ถกกันไปในหลายกระทู้ในช่วงสัปดาห์ที่ผ่านมา ข้อนี้ก็ไม่น่ายากครับ
เพียงแต่กลุ่มที่จะนับ มันเป็นลำดับเลขคณิตที่ผลต่างร่วมไม่ใช่ 1 เท่านั้น

[[SIL]]

ก็น่าจะหาแค่ว่า ในลำดับ 1,4,7,...,1000 นี้มี 5 หารลงกี่ตัว มี 25 หารลงกี่ตัวกระมังครับ

[เจ็ดเดือน]

$1\times 4\times 7\times\cdots\times 1000$ ลงท้ายด้วย 0 กี่ตัว

หาว่ามี 5 เป็นตัวประกอบกี่ตัว และ 2 เป็นตัวประกอบกี่ตัว
จำนวนที่น้อยกว่า คือคำตอบ

ในที่นี้จะหาเฉพาะตัวประกอบของ 5 เพราะตัวประกอบของ 2 มีจำนวนมากกว่า
เพราะ หรม.ของ 2 กับ 3 น้อยกว่า หรม.ของ 3 กับ 5
เลข 3 เป็น step ของ sequence จากโจทย์

a = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ..., 1000 = { 3i-2 | i = 1, 2, ..., ? }

เทอม a ที่ 5 หารลงตัว คือ 10, 25, ..., 1000 = { 15i-5 | i = 1, 2, ..., 67 }
ซึ่งแต่ละเทอมห่างกัน 15 เพราะห่างช่วงละ 3 กระโดด 5 ช่วงหารลงตัว
เทอม a ที่ 5 หารลงตัวจึงมี $67$ ตัว (1000/15 up) มีผลหารที่ลงตัวคือ
b = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ..., 200 = { 3i-1 | i = 1, 2, ..., ?}

เทอม b ที่ 5 หารลงตัว คือ 5, 20, ..., 200 = { 15i-10 | i = 1, 2, ..., 14 }
เทอม b ที่ 5 หารลงตัวจึงมี $14$ ตัว (200/15 up) มีผลหารที่ลงตัวคือ
c = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ..., 40 = { 3i-2 | i = 1, 2, ..., ? }

เทอม c ที่ 5 หารลงตัว คือ 10, 25, 40 = { 15i-5 | i = 1, 2, 3}
เทอม c ที่ 5 หารลงตัวจึงมี $3$ ตัว (40/15 up) มีผลหารที่ลงตัวคือ
d = 2, 5, 8 = { 3i-2 | i = 1, 2, 3 }

เทอม c ที่ 5 หารลงตัว คือ 5
เทอม c ที่ 5 หารลงตัวจึงมี $1$ ตัว มีผลหารที่ลงตัวคือ 1

จึงได้ $67+14+3+1 = 85$

[กรza_ba_yo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เจ็ดเดือน

$1\times 4\times 7\times\cdots\times 1000$ ลงท้ายด้วย 0 กี่ตัว

หาว่ามี 5 เป็นตัวประกอบกี่ตัว และ 2 เป็นตัวประกอบกี่ตัว
จำนวนที่น้อยกว่า คือคำตอบ

ในที่นี้จะหาเฉพาะตัวประกอบของ 5 เพราะตัวประกอบของ 2 มีจำนวนมากกว่า
เพราะ หรม.ของ 2 กับ 3 น้อยกว่า หรม.ของ 3 กับ 5
เลข 3 เป็น step ของ sequence จากโจทย์

a = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ..., 1000 = { 3i-2 | i = 1, 2, ..., ? }

เทอม a ที่ 5 หารลงตัว คือ 10, 25, ..., 1000 = { 15i-5 | i = 1, 2, ..., 67 }
ซึ่งแต่ละเทอมห่างกัน 15 เพราะห่างช่วงละ 3 กระโดด 5 ช่วงหารลงตัว
เทอม a ที่ 5 หารลงตัวจึงมี $67$ ตัว (1000/15 up) มีผลหารที่ลงตัวคือ
b = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ..., 200 = { 3i-1 | i = 1, 2, ..., ?}

เทอม b ที่ 5 หารลงตัว คือ 5, 20, ..., 200 = { 15i-10 | i = 1, 2, ..., 14 }
เทอม b ที่ 5 หารลงตัวจึงมี $14$ ตัว (200/15 up) มีผลหารที่ลงตัวคือ
c = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ..., 40 = { 3i-2 | i = 1, 2, ..., ? }

เทอม c ที่ 5 หารลงตัว คือ 10, 25, 40 = { 15i-5 | i = 1, 2, 3}
เทอม c ที่ 5 หารลงตัวจึงมี $3$ ตัว (40/15 up) มีผลหารที่ลงตัวคือ
d = 2, 5, 8 = { 3i-2 | i = 1, 2, 3 }

เทอม c ที่ 5 หารลงตัว คือ 5
เทอม c ที่ 5 หารลงตัวจึงมี $1$ ตัว มีผลหารที่ลงตัวคือ 1

จึงได้ $67+14+3+1 = 85$

ละเอียดดีมากเลยคับ