โจทย์ยากๆๆ

[LightLucifer]

มาแล้วครับ ไฟล์รูปไม่รู้จะดูได้หรือป่าว แต่ อยากไห้เห็นครับ

ซูมกันเอาเองนะเคิ้บๆๆๆๆๆ

5555555555555++++++++++

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

พี่ Puriwatt ข้อ 3 ผมได้ 44 อ่ะครับไม่รู้ผิดตรงไหนหรือเปล่าครับ
$2^{2002}$ เท่ากับ
$=4(1000+20+4)^{200}$
$=4(100a+4^{200})$
$=4(100a+(1000+20+4)^{40})$
$=4(100b+4^{40})$
$=4(100b+(1000+20+4)^8)$
$=4(100c+4^8)$
$=100d+4^9$
$=100d+(1000+24)4^4$
$=100d+(1000+24)(200+56)$
$=100e+(24)(56)$
$=100f+44$

ผิดบรรทัดดังกล่าวครับ

[LightLucifer]

ข้อ 7นะเคิ้บๆๆๆๆ

คือถ้าไห้พิสูจน์ผมก้อไม่เคยพิสูจน์มาก่อนก้อเรยทำเป็นแบบแก้สมการไปแล้วกันนะเคิ้บ

$\left(\,\right. 1 - \frac{2}{2\cdot 3} \left.\,\right) \left(\,\right. 1 - \frac{2}{3\cdot 4} \left.\,\right) \left(\,\right. 1 - \frac{2}{4\cdot 5} \left.\,\right) \left(\,\right. 1 - \frac{2}{n+1\cdot n+2} \left.\,\right) = \frac{n+3}{3\left(\,\right. n+1\left.\,\right)}$
จากตรงนี้เรายุบมัน ลงไห้เหลือ
$(\frac{4}{6})(\frac{10}{12})(\frac{18}{20})(\frac{3n^2 +3}{(n+1)(n+2)})=\frac{n+3}{3\left(\,\right. n+1\left.\,\right)}$
$\frac{1}{2}(\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)})=\frac{n+3}{3\left(\,\right. n+1\left.\,\right)}$
$\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}=\frac{2(n+3)}{3\left(\,\right. n+1\left.\,\right)}$
$\frac{n}{n+2}=\frac{2}{3}$
$3n=2n+4$
$n=4$

ก้อน่าจะพิสูจน์ได้ว่า $\left(\,\right. 1 - \frac{2}{2\cdot 3} \left.\,\right) \left(\,\right. 1 - \frac{2}{3\cdot 4} \left.\,\right) \left(\,\right. 1 - \frac{2}{4\cdot 5} \left.\,\right) \left(\,\right. 1 - \frac{2}{n+1\cdot n+2} \left.\,\right) = \frac{n+3}{3\left(\,\right. n+1\left.\,\right)}$
เมื่อn=4 มั้ง ผมไม่เคยพิสูจน์มาก่อน ไคมีอะไรชี้แนะผมก้อขอรบกวนด้วยนะเคิ้บๆๆๆๆ
----------------------------------------จบ----------------------------------------------

[LightLucifer]

ข้อ 8 อ่ะครับ ได้ 529 หรือป่าวครับ
แนวคิดเอาไว้ก่อนเด๋วกลัวหน้าแตกอีก ^^

[Julian]

ข้อ 8. ไม่ถูกครับ

[หยินหยาง]

ข้อ 8. ตอบ $63$ (เพราะว่า $n=7^3\times 5^4$)

[[SIL]]

ผมว่าโจทย์ข้อ 7 น่าจะเป็นแบบนี้มากกว่ามั้งครับ
$(1-\frac{2}{2\times3})(1-\frac{2}{3\times4})(1-\frac{2}{4\times5})\times...\times(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)})=\frac{n+3}{3(n+1)}$
ไม่งั้นคงเป็นแค่สมการครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

พี่ Puriwatt ข้อ 3 ผมได้ 44 อ่ะครับไม่รู้ผิดตรงไหนหรือเปล่าครับ
$2^{2002}$ เท่ากับ
$=4(1000+20+4)^{200}$ $ \equiv 4(20+4)^{200} \equiv 4(4)^{200}$ <-- เพราะว่า $ \binom{200}{1} (20)^1(4)^{199} $ สามารถหารด้วย 100 ได้ลงตัว
$=4(100a+4^{200})$ บรรทัดนี้ยังถูกต้องครับ $\equiv 4(4)^{200} \equiv 4(1024)^{40} $
$=4(100a+(1000+20+4)^{40})$ $\equiv 4(20+4)^{40} \equiv 4(4)^{40} $ <--เพราะว่า $ \binom{40}{1} (20)^1(4)^{39} $ สามารถหารด้วย 100 ได้ลงตัว
$=4(100b+4^{40})$ บรรทัดนี้ยังถูกต้องครับ $\equiv 4(1024)^{8} $
$=4(100b+(1000+20+4)^8)$ บรรทัดนี้ยังถูกต้องครับ $\equiv 4(20+4)^{8} $
$=4(100c+4^8)$ บรรทัดนี้ไม่ถูกต้องครับ <-- เพราะว่า $ \binom{8}{1} (20)^1(4)^{7} $ ไม่สามารถหารด้วย 100 ได้ลงตัว ที่ถูกต้องคือ
$=4(100c+8(20)^1(4)^{7}+4^8) \equiv 4(40+1)4^{8} \equiv (41)4^{5}4^{4} $
$=100d+41(1000+24)(200+56)$ $=100e+41(44) = 100f+04 $

ข้อนี้ต้องระวังในเรื่องการยุบเทอมที่คูณด้วยสิบครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Julian

$6.จำนวนเต็มบวก 2000 หลักที่ทุกหลักเป็นเลข 9 หารด้วย 1001 เหลือเศษเท่าไร$

เนื่องจาก 1001 คูณด้วย 999 จะมีค่าเป็น 999999 ซึ่งมีอยู่ 6 หลัก และเมื่อนำ 6 ไปหาร 2000 หลัก จะเหลือเศษ 2 หลัก

ดังนั้นข้อนี้จะเหลือเศษ 99 (ส่วน 1001) หรือทอนลงป็น $ \frac {9}{91} $ ก็ได้ครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ผมว่าโจทย์ข้อ 7 น่าจะเป็นแบบนี้มากกว่ามั้งครับ
$(1-\frac{2}{2\times3})(1-\frac{2}{3\times4})(1-\frac{2}{4\times5})\times...\times(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)})=\frac{n+3}{3(n+1)}$
ไม่งั้นคงเป็นแค่สมการครับ

มันเป็นอย่างนี้จริงๆ
เนื่องจาก $a_n$ = (1 - $\frac{2}{(n+1)(n+2)}$) = $ \frac{(n^2+3n+2)-2}{(n+1)(n+2)}$ = $\frac{(n^2+3n)}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n)(n+3)}{(n+1)(n+2)}$

ดังนั้น (1-$\frac{2}{2\times3}$)(1-$\frac{2}{3\times4}$)(1-$\frac{2}{4\times5}$)$\cdots$(1-$\frac{2}{(n+1)(n+2)}$) = $\frac{(1)(\not4)}{(\not2)(3)} \cdot \frac{(\not2)(\not5)}{(\not3)(\not4)} \cdot \frac{(\not3)(\not6)}{(\not4)(\not5)} \cdots \frac{(n\not-1)(n\not+2)}{(\not{n}) (n\not+1)} \cdot \frac{(\not{n})(n+3)}{(n+1)(n\not+2)}$ = $\frac{(n+3)}{3(n+1)}$

ตอบแล้วครับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ข้อนี้ต้องระวังในเรื่องการยุบเทอมที่คูณด้วยสิบครับ

อ่าขอบคุณหลายๆ มาฝึกยุบเทอมกันครับ หุหุ

$(2!3!\times...\times100!)^{(1!2!3!\times...\times99!)^{(1!2!3!\times...\times98!)^{(1!2!3!\times...\times97!!)^{...^{(2!)}}}}}$

[XPoSive]

ลองอีกวิธี
$2^{2002}$ คิดเฉพาะสองหลักสุดท้าย
$\rightarrow 4(1000+24)^{200}$
$\rightarrow 4(24)^{200}$
$\rightarrow 4(25-1)^{200}$
$\rightarrow 4(-1)^{200}$ (เพราะ $4\times25=100$)
$\rightarrow 4$
สองหลักสุดท้ายจึงเป็น $04$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Julian

ไม่ค่อยยากมากแต่คิดให้ลึกเอาไว้นะครับ


$8.( ข้อที่ยากที่สุดนะครับ ) กำหนด n เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า n มีจำนวนเต็มบวกที่สามารถ หาร 5n ลงตัวอยู่ 24 ตัว$
$และ 7n มีจำนวนเต็มบวกที่สามารถหาร 7n ลงตัวอยู่ 25 ตัว $

$จงหาว่ามีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่สามารถหาร n^2 ได้ลงตัว$

อย่าใช้ความรู้เกินหลักสูตรนะครับ แต่จะมีบางข้อที่ใช้หลักการคิดที่เกินหลักสูตรไปนะครับ เช่น ข้อ8. เป็นต้น

อีกซัก 2 สัปดาห์ผมจะมาเฉลยนะครับ

ได้ 144 ป่ะเคิ้บบ

[กรza_ba_yo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

อ่าขอบคุณหลายๆ มาฝึกยุบเทอมกันครับ หุหุ

$(2!3!\times...\times100!)^{(1!2!3!\times...\times99!)^{(1!2!3!\times...\times98!)^{(1!2!3!\times...\times97!!)^{...^{(2!)}}}}}$

มีสูตรไหมคับเนี่ย
ถ้าคิดตรงๆคงตายไปข้างนึงละ

[[SIL]]

น้องกรอย่าคิดตรงๆสิครับ ^^
2!3!4!5!...100! = 10k ยกกำลังจำนวนเต็มบวกทุกตัวย่อมมีเลขลงท้ายเท่ากับ 0 ครับ
ประทานโทษผมกะให้หาเลขลงท้ายครับ TT