โจทย์ ม.ปลาย ที่มีคุณภาพ (มั้ง)

[RoSe-JoKer]

**ดัดแปลงเล็กน้อยจากโจทย์กลางภาคโรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา
นิยาม $y=f(x)$ มีจุด $A(3,5) B(-3,-13)$ อยู่บนเส้นโค้งดังกล่าว
โดยให้ $f'(2x+1)=ax^2+bx$
โดยที่เส้นโค้งที่สัมผัสกับ $f(x) $ที่ $x=3 $นั้นขนานกับเส้นตรง$ 6x-y+936=0$
จงหาค่าของ $a$ และ $b $

[owlpenguin]

ผิดถูกยังไงชี้แนะด้วยครับ
จากที่เส้นสัมผัสกราฟ ณ $x=3$ ขนานกับเส้นตรง $6x-y+936=0$ แสดงว่ามีความชันเดียวกัน นั่นคือ $6$
แต่จากนิยาม ความชันของเส้นสัมผัสกราฟ ก็คือค่า $f'(x)$ ของ ณ จุดๆนั้น ดังนั้น $f'(3)=6$
จาก $f'(2x+1)=ax^2+bx$ ดังนั้น $6=f'(3)=f(2(1)+1)=a+b$___(*)
และจาก $f'(2x+1)=ax^2+bx$ ได้ว่า $f'(x)=\frac{ax^2+2(b-a)x+(a-2b)}{4}$
ดังนั้น $f(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}ax^3+(b-a)x^2+(a-2b)x+C\right)$
จากกราฟผ่านจุด $A(3,5),B(-3,-13)$
$5=\frac{1}{4}(9a+9(b-a)+3(a-2b)+C)$___(1)
$-13=\frac{1}{4}(-9a+9(b-a)-3(a-2b)+C)$___(2)
(1)-(2): $18=\frac{1}{4}(18a+6(a-2b))=\frac{1}{4}(36a-12(a+b))$
จาก $a+b=6$ ดังนั้น $18=\frac{1}{4}(36a-72)=9a-18$
$\therefore a=4, b=2$

[[SIL]]

ขอฝากข้อนี้ด้วยครับไม่อยากตั้งกระทู้ใหม่
จงหาค่า $x$ จากสมการ $log x+10^{x^2+x}=10^{x+1}$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ขอฝากข้อนี้ด้วยครับไม่อยากตั้งกระทู้ใหม่
จงหาค่า $x$ จากสมการ $log x+10^{x^2+x}=10^{x+1}$

จากโจทย์จัดรูปใหม่จะได้ว่า
$log x = 10^{x+1}(1 - 10^{x^2-1})$
แบ่งพิจารณาว่า x อยู่ในช่วงใดบ้าง (x>0)
กรณีที่ 0<x<1
LHS. เป็นลบ แต่ RHS เป็นบวก แสดงว่า x ในช่วงนี้ไม่มี
กรณีที่ x=1
LHS. = RHS.
กรณีที่ x >1
LHS. เป็นบวก แต่ RHS.เป็นลบ แสดงว่า x ในช่วงนี้ไม่มี

สรุปเซตของคำตอบคือ 1

ป.ล. แก้ไขเพื่อความถูกต้องครับ

[[SIL]]

แทน x = 1 ก็ได้นะครับแต่สมการดังกล่าวอยู่ในรูปล็อคกับเอ็กซ์โปรวมกันซึ่งผมไม่เคยเจอเลยครับ

[Mathephobia]

์ใบ้ครับผม : ลองย้ายข้างแล้วเช็กฟังก์ชันเพิ่มกับลดดูสิครับ (โดยการหา f'(x) ครับผม)

[nooonuii]

ขอฝากข้อนี้ด้วยครับไม่อยากตั้งกระทู้ใหม่
จงหาค่า $x$ จากสมการ $\log x+10^{x^2+x}=10^{x+1}$

สังเกตว่า $x>0$

สมมติว่า $0<x<1$ จะได้ $\log x<0$

ดังนั้น $\log x + 10^{x^2+x}<10^{x^2+x}<10^{x+1}$

เัพราะว่า $x^2+x<x+1$

สมมติว่า $x>1$ จะได้ $\log x > 0$

ดังนั้น $\log x + 10^{x^2+x}>10^{x^2+x}>10^{x+1}$

เัพราะว่า $x^2+x>x+1$

ดังนั้น $x=1$ เป็นคำตอบเดียวเท่านั้น

[[SIL]]

ขอบคุณ คุณ หยินหยาง และ คุณ nooonuii มากๆครับ