โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ สวัสดีปีใหม่ 2548 ภาคสอง

[gon]

ข้อ 31 :
\( \displaystyle\max_{1\leq k\leq2001}f(k) = 4, min \, n = 2^{\displaystyle2^{2000} + 1} + 1\)

[aaaa]

ย้ายครับ ไปหัวข้อใหม่

[nooonuii]

อืมแสดงว่าผมคิดถูกแล้วครับ ขอบคุณคุณ aaaa เป็นอย่างสูงที่แนะนำแนวคิดครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ aaaa:
อยากเห็นวิธีคิดข้อ 28 ครับ คุณ warut

เอาแบบคร่าวๆนะครับ

โดยให้ \(y=1-x\) จะได้\[\int_0^1\frac{\ln y}{1-y}\,dy=
\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{x}\,dx\]
\[=-\int_0^1\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^3}{4}+\cdots\right)dx\]
\[=-\left[x+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^3}{3^2}+\frac{x^4}{4^2}+\cdots\right]_0^1\]
\[=-\frac{\pi^2}{6}\]แล้วคุณ aaaa ทำยังไงครับ

[aaaa]

ครับผมทำแบบเดียวกันนี้แหละ ยังนึกวิธีแบบไม่ต้องกระจายอนุกรมไม่ได้

[nooonuii]

33. จงหาค่าของ

\[ \large{\frac{3}{1!+2!+3!} + \frac{4}{2!+3!+4!} + \frac{5}{3!+4!+5!} + \dots} \]

[nooonuii]

34. จงหาค่าของ
\[ \large{1- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \cdots } \]

[nooonuii]

35. จงแสดงว่า \[ \large{1+\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i+1}}{i} {n \choose i}} \]

[warut]

ข้อ 33. ตอบ 1/2

ข้อ 34. ตอบ p/(3ึ3)

[nooonuii]

เยี่ยมไปเลยครับคุณ warut ตอนนี้ยังเหลือข้อ 25,29,30,35 ครับ

[warut]

ตอนนี้ผมถูกความขี้เกียจเข้าครอบงำอย่างหนัก เลยไม่ค่อยอยากทำข้อที่
ต้องพิมพ์เยอะๆน่ะครับ

ตอบข้อ 35. จาก binomial theorem จะได้
\[\frac{1-\left(1-x\right)^n}{x}=\sum_{i=1}^n\left(-1\right)^{i-1}{n\choose i}x^{i-1}\]
ดังนั้น
\[\sum_{i=1}^n\frac{\left(-1\right)^{i-1}}{i}{n\choose i}=\int_0^1\sum_{i=1}^n\left(-1\right)^{i-1}{n\choose i}x^{i-1}\,dx\]
\[=\int_0^1\frac{1-\left(1-x\right)^n}{x}\,dx\]
ให้ u = 1 - x จะได้
\[\sum_{i=1}^n\frac{\left(-1\right)^{i-1}}{i}{n\choose i}=\int_0^1\frac{1-u^n}{1-u}\,du\]
\[=\int_0^11+u+u^2+\dots+u^{n-1}\,du\]
\[=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\]

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ aaaa:
30. (Spanish MO'2003) ถ้า \( \alpha \) เป็นรากที่เป็นจำนวนจริงของ \( x^3+2x^2+10x-20=0 \)
จงพิสูจน์ว่า \( \alpha^2 \) ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ

จาก $ \alpha^3+2 \alpha^2 +10 \alpha-20=0$ เราจึงได้ว่า $$\alpha= \frac{20-2\alpha^2} {\alpha^2+10} $$ ดังนั้นถ้า $\alpha^2$ เป็นจำนวนตรรกยะ $\alpha$ ก็จะเป็นจำนวนตรรกยะด้วย แต่จาก Rational Root Test เรารู้ว่า $\alpha$ เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น $\alpha^2$ จึงต้องเป็นจำนวนอตรรกยะครับผม

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ขอย้อนกลับไปสู่โจทย์ที่น้องๆระดับมัธยมสามารถทำได้ด้วยครับ

29. จงหาจำนวนจริง k ทั้งหมดซึ่งทำให้สมการพหุนาม (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = k มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมด

ทำต่อจากแนวคิดของคุณ R-Tummykung de Lamar
\[\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)=\left(x^2+5x+5\right)^2-1=k\]
ดังนั้น
\[x^2+5x+5\pm\sqrt{k+1}=0\]
ซึ่งจะมีรากเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ k ณ -1 และ
\[5^2-4\left(5\pm\sqrt{k+1}\right)\ge0\]
นั่นคือ
\[5-4\sqrt{k+1}\ge0\]
ดังนั้น
\[-1\le k\le\left(\frac{5}{4}\right)^2-1=\frac{9}{16}\]

[nooonuii]

เยี่ยมครับ คุณ warut เหลือข้อ 25 ข้อเดียวแล้วครับ

[nooonuii]

ข้อนี้ไปเจอในวารสารมาครับ

36. ถ้า (m,n) = 1 จงพิสูจน์ว่า \( (m^3 n^2 + m^2 n^3 + m^3 n + 2m^2 n^2 + mn^3, m^2 n + mn^2 + mn + m + n) = 1 \)