อยากทราบ ลักษณะของเมตริกซ์ตั้งฉาก

[Destiny]

อยากทราบว่าลักษณะเมตริกซ์ตั้งฉาก อะคับ มันเป็นยังไง คือ ครูท่านทิ้งคำถามไว้นานแล้ว และก็ลองหาดูจากหนังสือหลายเล่มแต่ไม่พบเลยคับ ตอนนี้ครูท่านลาออกไปแล้ว มันคาใจอะคับเลยอยากทราบว่ามีใครรู้บ้าง ช่วยตอบหน่อยคับ จะเป็นพระคุณอย่างยิ่ง ขอบคุณมาล่วงหน้าเลยคับ

[warut]

เดาว่า "เมตริกซ์ตั้งฉาก" นี่คงคืออันเดียวกับ "orthogonal matrix" มั้งครับ
ถ้าใช่ มันก็หมายถึง square matrix \(A\) ที่ \(AA^t=I\)

[nooonuii]

orthogonal (real) matrix คือ matrix จัตุรัสซึ่งมีคุณสมบัติว่า AA^t = I เมื่อ I คือ identity matrix ครับ (จากคุณสมบัติดังกล่าวจะทำให้เราได้ว่า det(A) = ฑ 1) เป็น matrix ชนิดพิเศษที่นักคณิตศาสตร์ศึกษาและนำไปประยุกต์ใช้ทั้งในวิชาคณิตศาสตร์เองและในวิชาฟิสิกส์ครับ(พวก Quantum Physics) เซตของ matrix ชนิดนี้จะเขียนแทนด้วย O(n) เมื่อ n แทนมิติของ matrix

เซต O(n) นี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจทั้งทางพีชคณิตและทาง topology ครับ จึงมีการศึกษากันอย่างกว้างขวาง นอกจากนี้ยังมีสับเซตของเซตนี้ซึ่งเราเรียกว่า Special orthogonal matrix เขียนแทนด้วยเซต SO(n) เป็นเซตของ orthogonal matrix ทั้งหมดซึ่งมี determinant = 1

อ่านคุณสมบัติเพิ่มเติมได้ในหนังสือเกี่ยวกับ Matrix Lie Group ครับ

[alongkorn]

เพิ่มเติมนิดหน่อยนะครับ
A real square matrix A is said to be:
symmetric if A^T = A
skew-symmetric if A^T = -A
orthogonal if A^T = A^-1
ดูตัวอย่างของ orthogonal matrix ได้จาก http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalMatrix.html
ว่าแต่ว่าเจ้า orthogonal matrix เนี่ย มันตั้งฉากกับอะไร และการตั้งฉากคืออะไร ?

[aaaa]

บนปริภูมิ \(\mathbb{R}^n \) ที่มี inner product \(\langle\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\rangle=x_1y_1+\cdots+x_ny_n \,\,\,\) ให้ \(\{\overrightarrow{e}_1,\ldots,\overrightarrow{e}_n\} \) เป็น standard ordered basis
ถ้ามี orthonormal basis \(\{\overrightarrow{f}_1,\ldots,\overrightarrow{f}_n\} \) กล่าวคือ
\[
\langle \overrightarrow{f}_i,\overrightarrow{f}_j\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}
0,&\text{ถ้า}\,\,i\neq j\\
1,&\text{ถ้า}\,\,i=j
\end{cases}
\]
โดย \( \delta_{ij} \) คือ Kroenecker delta function \( \,\,\, \) ถ้า
\[
\overrightarrow{f}_j=\sum_{i=1}^na_{ij}\overrightarrow{e}_i
\]
แล้วจะได้ว่า เมตริกซ์
\[
A=(a_{ij})_{n\times n}
\]
orthogonal matrix นั่นคือ \( A\cdot A^T=I_n \)

ในทางกลับกัน ถ้าเรามี orthogonal matrix \( A=(a_{ij})_{n\times n} \) แล้วจะได้ว่า เวกเตอร์ \(\{\overrightarrow{f}_1,\ldots,\overrightarrow{f}_n\} \) ตามสูตรข้างบน เป็น orthonormal basis

PS คำว่า orthogonal มาจากคุณสมบัติการตั้งฉากกันของเวกเตอร์ \(f_i,f_j\) เมื่อ \(i\neq j \) i.e. \( \langle\overrightarrow{f_i},\overrightarrow{f_j}\rangle=0\)

[gon]

Orthogonal Matrix ถ้าแปลตามราชบัณฑิตสถานของคณิตศาสตร์ ฉบับแก้ไขเพิ่มเติม พิมพ์ปี 2545 แปลว่า เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก ครับ. ถ้าดูตามในนี้อะไรที่มีคำว่า ortho... พีท่านเป็นต้องแปลแล้วมีคำว่าตั้งฉากหมดครับ.