|
|
#2
13 กุมภาพันธ์ 2009, 01:54
|
||||
|
||||
ผมไม่แน่ใจว่าแนวคิดนี้จะโอเคไหม ขอแค่แสดงแนวคิดคร่าวๆละกันนะครับ
จาก $\dim(V)=3$ จะได้ $\vec{a_i}=\sum_{i=1}^3 a_{ij}\vec e_j$ ซึ่งจะทำให้ $$\det\pmatrix{ a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}} =\det\pmatrix{ a_{11}+a_{21}+a_{31}&a_{21}+a_{31}&a_{31}\\ a_{12}+a_{22}+a_{32}&a_{22}+a_{32}&a_{32}\\ a_{13}+a_{23}+a_{33}&a_{23}+a_{33}&a_{33}\\ } \ne0$$โดยการดำเนินการตามหลัก(หรือแถว)ครับ ปัญหาคือ ถ้าเขียน $\vec{a_i}$ แบบด้านบนไม่ได้ก็เสร็จกันล่ะครับ... 
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 
|
|
#3
13 กุมภาพันธ์ 2009, 09:32
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
แต่ต้องใช้ทฤษฎีบทที่ว่า ทุกสมาชิกใน $V$ จะสามารถเขียนเป็น linear combination ของสมาชิกใน basis ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ถ้าใช้ทฤษฎีบทนี้เราไม่จำเป็นต้องรู้หน้าตาของ $a_1,a_2,a_3$ แต่อย่างใด แค่เล่นกับสัญลักษณ์ก็พอ จะพิสูจน์ว่าสับเซตของ $V$ เป็น basis ต้องพิสูจน์ว่า 1) เซตนั้น span $V$ 2) เซตนั้นเป็น linearly independent set 1) ให้ $v\in V$ สมมติว่ามี $c_1,c_2,c_3$ ซึ่งทำให้ $c_1(a_1+a_2+a_3)+c_2(a_2+a_3)+c_3a_3=v$ $c_1a_1+(c_1+c_2)a_2+(c_1+c_2+c_3)a_3=v$ เราจะต้องพิสูจน์ว่ามี $c_1,c_2,c_3$ ที่สอดคล้องสมการข้างบนจริง จากคุณสมบัติของ basis จะมี $d_1,d_2,d_3$ ซึ่ง $d_1a_1+d_2a_2+d_3a_3=v$ ดังนั้น $c_1=d_1$ $c_1+c_2=d_2$ $c_1+c_2+c_3=d_3$ จะได้ $c_1=d_1,c_2=d_2-d_1,c_3=d_3-d_2$ ดังนั้น $\{a_1+a_2+a_3, a_2+a_3, a_3\}$ span $V$ 2) สมมติว่า $c_1(a_1+a_2+a_3)+c_2(a_2+a_3)+c_3a_3=0$ $c_1a_1+(c_1+c_2)a_2+(c_1+c_2+c_3)a_3=0$ จากคุณสมบัติของ basis จะได้ว่า เวกเตอร์ $0$ สามารถเขียนได้แบบเดียวเท่านั้นในรูป $d_1a_1+d_2a_2+d_3a_3=0$ นั่นคือเมื่อ $d_1=d_2=d_3=0$ ดังนั้น $c_1=0$ $c_1+c_2=0$ $c_1+c_2+c_3=0$ จึงได้ $c_1=c_2=c_3=0$ ดังนั้น $\{a_1+a_2+a_3, a_2+a_3, a_3\}$ เป็น linearly independent set
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
  |
|
|
