Nice from TU's test

[RoSe-JoKer]

ผิดลิขสิทธิ์หรือเปล่าก็ไม่รู้ แต่ผมไม่ชอบที่หวงโจทย์เท่าไหร่ เอามาโพสในเน็ตคงไม่มีใครว่าอะไรมั้ง?
เป็นข้อสอบที่ให้แสดงวิธีทำโดยสั่งว่าห้ามใช้ Partial fraction โจทย์คือ
จงหาค่าของ
$\int_{2}^{3} \frac{x^4-x^2-6x+2}{x^4-2x^2+1}dx$

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ผิดลิขสิทธิ์หรือเปล่าก็ไม่รู้ แต่ผมไม่ชอบที่หวงโจทย์เท่าไหร่ เอามาโพสในเน็ตคงไม่มีใครว่าอะไรมั้ง?
เป็นข้อสอบที่ให้แสดงวิธีทำโดยสั่งว่าห้ามใช้ Partial fraction โจทย์คือ
จงหาค่าของ
$\int_{2}^{3} \frac{x^4-x^2-6x+2}{x^4-2x^2+1}dx$

ถ้าไม่ให้ใช้ Partial fraction ตอนนี้ผมคิดได้วิธีเดียวคือ
\[
\frac{{x^4 - x^2 - 6x + 2}}{{x^4 - 2x^2 + 1}} = \frac{{\left( {x^4 - 2x^2 + 1} \right) + \left( {x^2 - 6x + 1} \right)}}{{x^4 - 2x^2 + 1}} = 1 + \frac{{x^2 - 6x + 1}}{{x^4 - 2x^2 + 1}} = 1 + \frac{{x^2 - 6x + 1}}{{\left( {x^2 - 1} \right)^2 }}
\]
\[
= 1 + \frac{{\left( {x^2 - 1} \right) - \left( {6x - 2} \right)}}{{\left( {x^2 - 1} \right)^2 }} = 1 + \frac{1}{{x^2 - 1}} - \frac{{6x}}{{\left( {x^2 - 1} \right)^2 }} + \frac{2}{{\left( {x^2 - 1} \right)^2 }}
\]

คำตอบคือ \[
\frac{2}{3}
\]

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

ถ้าไม่ให้ใช้ Partial fraction ตอนนี้ผมคิดได้วิธีเดียวคือ
\[
\frac{{x^4 - x^2 - 6x + 2}}{{x^4 - 2x^2 + 1}} = 1 + \frac{1}{{x^2 - 1}} - \frac{{6x}}{{\left( {x^2 - 1} \right)^2 }} + \frac{2}{{\left( {x^2 - 1} \right)^2 }}
\]

ลองคลิกที่ลิงค์ของ partial fraction ดูซิครับ

แล้วจะทำให้รู้ว่าวิธีที่ใช้นี้ เขาเรียกกันว่า ??? ครับ

partial fraction

[gnopy]

เขาห้ามใช้หนิครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ผิดลิขสิทธิ์หรือเปล่าก็ไม่รู้ แต่ผมไม่ชอบที่หวงโจทย์เท่าไหร่ เอามาโพสในเน็ตคงไม่มีใครว่าอะไรมั้ง?
เป็นข้อสอบที่ให้แสดงวิธีทำโดยสั่งว่าห้ามใช้ Partial fraction โจทย์คือ
จงหาค่าของ
$\int_{2}^{3} \frac{x^4-x^2-6x+2}{x^4-2x^2+1}dx$

ขออภัยครับ สงสัยตอนนั้นท่าจะเมาแฮะ
ขอแก้ตัวหน่อยละกัน
พิจารณา\[
I = \int {\frac{{x^4 - x^2 - 6x + 2}}{{x^4 - 2x^2 + 1}}dx} = \int {\frac{{x^2 \left( {x^2 - 1} \right) - 6x + 2}}{{\left( {x^2 - 1} \right)^2 }}dx}
\]
ให้ \[
x = \sec \theta
\]
จะได้ว่า \[
\int {\frac{{x^4 - x^2 - 6x + 2}}{{x^4 - 2x^2 + 1}}dx} = \int {\left( {\frac{{\sec ^2 \theta \left( {\sec ^2 \theta - 1} \right) - 6\sec \theta + 2}}{{\left( {\sec ^2 \theta - 1} \right)^2 }}} \right)\left( {\sec \theta \tan \theta } \right)} d\theta
\]
\[
= \int {\left( {\frac{{\sec ^2 \theta \tan ^2 \theta - 6\sec \theta + 2}}{{\tan ^4 \theta }}} \right)\left( {\sec \theta \tan \theta } \right)} d\theta
\]
\[
= \int {\left( {\frac{{\sec ^3 \theta \tan ^2 \theta - 6\sec ^2 \theta + 2\sec \theta }}{{\tan ^3 \theta }}} \right)} d\theta
\]
\[
= \int {\left( {\frac{{\frac{{\sin ^2 \theta }}{{\cos ^5 \theta }} - \frac{6}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\cos \theta }}}}{{\frac{{\sin ^3 \theta }}{{\cos ^3 \theta }}}}} \right)} d\theta
\]
\[
= \int {\left( {\frac{1}{{\sin \theta \cos ^2 \theta }} - \frac{{6\cos \theta }}{{\sin ^3 \theta }} + \frac{{2\cos ^2 \theta }}{{\sin ^3 \theta }}} \right)} d\theta
\]
\[
= \int {\cos ec} \theta \sec ^2 \theta d\theta - 6\int {\frac{{\cos \theta }}{{\sin ^3 \theta }}} d\theta + 2\int {\cot ^2 \theta \cos ec} \theta d\theta
\]
\[
= \int {\cos ec} \theta \sec ^2 \theta d\theta - 6\int {\frac{{\cos \theta }}{{\sin ^3 \theta }}} d\theta + 2\int {\cos ec} ^3 \theta d\theta - 2\int {\cos ec} \theta d\theta
\]
\[
= I_1 - 6I_2 + 2I_3 - 2\ln \left| {\cos ec\theta - \cot \theta } \right|
\]
\[
I_1 = \int {\cos ec} \theta \sec ^2 \theta d\theta = \int {\cos ec\theta \left( {1 + \tan ^2 \theta } \right)d\theta = \int {\cos ec\theta d\theta + \int {\cos ec\theta \tan ^2 \theta d\theta = } } } \int {\cos ec\theta d\theta + \int {\frac{{\sin \theta }}{{\cos ^2 \theta }}d\theta } }
\]
\[
= \int {\cos ec} \theta d\theta + \int {\sec \theta \tan \theta d\theta = } \ln \left| {\cos ec\theta - \cot \theta } \right| + \sec \theta + c_1
\]
\[
I_2 = \int {\frac{{\cos \theta }}{{\sin ^3 \theta }}} d\theta = \int {\cot } \theta \cos ec^2 \theta d\theta = - \int {\cot \theta d\left( {\cot \theta } \right)} = - \frac{{\cot ^2 \theta }}{2} + c_2
\]
\[
I_3 = \int {\cos ec} ^3 \theta d\theta = - \cos ec\theta \cot \theta - \int {\cos ec\theta \cot ^2 \theta d\theta = } - \cos ec\theta \cot \theta - I_3 + \int {\cos ec} \theta d\theta
\]
\[
= \frac{1}{2}\ln \left| {\cos ec\theta - \cot \theta } \right| - \frac{1}{2}\cos ec\theta \cot \theta + c_3
\]
จะได้ \[
I = \ln \left| {\cos ec\theta - \cot \theta } \right| + \sec \theta - 6\left( { - \frac{{\cot ^2 \theta }}{2}} \right) + 2\left( {\frac{1}{2}\ln \left| {\cos ec\theta - \cot \theta } \right| - \frac{1}{2}\cos ec\theta \cot \theta } \right) - 2\ln \left| {\cos ec\theta - \cot \theta } \right| + c
\]
\[
= \sec + 3\cot ^2 \theta - \cos ec\theta \cot \theta + c
\]\[
= x - \frac{{x - 3}}{{x^2 - 1}} + c
\]
ดังนั้น \[
\int\limits_2^3 {\frac{{x^4 - x^2 - 6x + 2}}{{x^4 - 2x^2 + 1}}dx} = \left[ {x - \frac{{x - 3}}{{x^2 - 1}}} \right]_2^3 = \frac{2}{3}
\]
ปล. คงไม่มีส่วนไหนเผลอใช้ Partial fraction นะครับ ว่าแต่ข้อนี้มันกี่คะแนนนี่ ？

[RoSe-JoKer]

โอ้...ช่างเป็นวิธีที่ให้กลิ่นคำว่ามหาลัยอะไรหนาจมูกเช่นนี้... ข้อนี้ 2 คะแนนไม่หารอะครับ...
ตอนผมทำผมให้ $F(x)=\frac{f(x)}{x^2-1}+c$ แล้วก็ทำการหาอนุพันธ์ไปโดยให้ $f(x)$ อยู่ในรูป $ax^3+bx^2+cx+d$ อะครับเพราะว่าเวลาหาอนุพันธ์มันจะได้เป็นกำลัง 4 แล้วก็ใช้ความจริงที่ว่า $b+d=3$ จากการเทียบหลังจากได้หาอนุพันธ์ไปแล้วเพื่อหาค่าของที่โจทย์กำหนดอะครับ