เอาโจทย์มาฝาก

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 8 ครับ
\( \displaystyle{\frac{4002001}{5002001}} \)

[M@gpie]

เย่ มีโจทย์แคลคูลัสด้วย ข้อ 9 คร้าบ
\[ \int _{0} ^{\infty} \int _{0} ^{y} e^{-(x^{2}+y^{2})} dxdy \]
โดยการพิจารณาบริเวณการอินทิเกรต ทำการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้วจะได้
\[ \int _{0} ^{\infty} \int _{0} ^{y} e^{-(x^{2}+y^{2})} dxdy = \int _{0}^{\frac{\pi}{4}} \int _{0} ^{\infty} e^{-r^{2}} rdrd \theta\]
เราก็สามารถอินทิเกรตได้ตามปกติ

[alongkorn]

ผมมีข้อสอบ final วิชา Calculus 2 มาฝากครับ
จงหาปริมาตรของส่วนของทรงกลมตัน x² + y² + z² ฃ 4 ชิ้นที่เล็กกว่าที่ถูกตัดโดยระนาบ z = 1

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ <คิดด้วยคน>:
ข้อ 5 มีรูปแบบเหมือนฟังก์ชันพหุนามเลยคือ
f(x) = 2005 + 2004x + 2003x² + 2002x³ + ... + 2x²⁰⁰³ + x²⁰⁰⁴
และค่าที่ต้องการคือ f(1/2) แต่ผมยังไม่ได้ลองหาว่า ค่านี้เขียนในรูปแบบสั้นๆได้อย่างไร

วิธีทำของผมเป็นดังนี้ครับ ให้
\[g(x)=x^{2005}+x^{2004}+\dots+x+1\]ดังนั้น
\[g'(x)=2005x^{2004}+2004x^{2003}+\dots+2x+1\]และ
\[\frac{g'(x)}{x^{2004}}=2005+\frac{2004}{x}+\dots+\frac{2}{x^{2003}}+\frac{1}{x^{2004}}\]ดังนั้นค่าที่เราต้องการคือ
\[\frac{g'(2)}{2^{2004}}\]แต่เรารู้ว่า
\[g(x)=\frac{x^{2006}-1}{x-1}\]ดังนั้น
\[g'(x)=\frac{2006x^{2005}-x^{2006}+1}{(x-1)^2}\]สรุปว่าค่าที่เราต้องการคือ
\[\frac{g'(2)}{2^{2004}}=4008+\frac{1}{2^{2004}}\]
ป.ล. ขอบคุณคุณ gon และคุณ R-Tummykung de Lamar ที่มาแสดงวิธีทำ
ข้อ 2. และ/หรือ ข้อ 4. ให้ดูครับ สำหรับข้อ 2. ผมใช้เอกลักษณ์ที่ผมจำไว้ว่า
\[a^4+b^4+(a+b)^4=2(a^2+ab+b^2)^2\]

เยี่ยมไปเลยครับ คุณ warut

ผมก็เดาๆไว้ว่ามันน่าจะเป็นรูปแบบ (xⁿ - 1) / (x - 1) หรือไม่ก็หาลูกเล่นเกี่ยวกับ reciprocal มาใช้ แต่ยังนึกวิธีให้มันไปดำเนินไปสู่รูปแบบนี้ไม่ออก

[nooonuii]

ลืมบอกไปครับว่า โจทย์ข้อหนึ่งคือปัญหาเรียนพีชคณิตจากโจทย์ระดับยากที่อยู่ในชุดที่สองนั่นเองครับ แต่ปรากฎว่าลืมวิธีคิดไปแล้วครับ เหอเหอ เลยมานั่งคิดใหม่แล้วก็ได้ออกมายาวยืดเลย ตอนเริ่มเขียนบทความผมคิดได้สั้นกว่านี้นะ แต่ตอนนี้ลืมวิธีคิดแบบนั้นไปแล้วเลยมาลองดูว่ามีใครคิดแบบสั้นๆได้บ้างน่ะครับ แต่ยากจริงๆครับ

ลืมบอกคุณ warut ว่า g'(x) = (2005 x²⁰⁰⁶ - 2006 x²⁰⁰⁵ + 1) / (x - 1)²
ดังนั้น g'(2)/2²⁰⁰⁴ = 2005(4) - 2006(2) + 1/2²⁰⁰⁴ = 4008 + 1/2²⁰⁰⁴
เอ่อแล้วมันได้ค่าตรงกันได้ไง หรือผมคิดผิดหว่า

[warut]

อ๋อ...ผม diff ผิดเองครับ จริงๆแล้วจะต้องได้
\[g'(x)=\frac{2006x^{2005}(x-1)-x^{2006}+1}{(x-1)^2}\]
ซึ่งก็คืออันเดียวกับของคุณคิดด้วยคน แต่ว่าเขียนแบบของผมนี่จะมองออกได้ง่ายว่า
ทำไมผมทำผิดแล้วคำตอบก็ยังออกมาถูกได้อีก ขอบคุณมากครับที่ช่วยตรวจทานให้

[nooonuii]

10. จงหาพหุนามทั้งหมดซึ่งสอดคล้องเงื่อนไข P(x+y) = P(x) + P(y) + 2005 ทุกจำนวนจริง x,y

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ลืมบอกไปครับว่า โจทย์ข้อหนึ่งคือปัญหาเรียนพีชคณิตจากโจทย์ระดับยากที่อยู่ในชุดที่สองนั่นเองครับ แต่ปรากฎว่าลืมวิธีคิดไปแล้วครับ เหอเหอ เลยมานั่งคิดใหม่แล้วก็ได้ออกมายาวยืดเลย ตอนเริ่มเขียนบทความผมคิดได้สั้นกว่านี้นะ แต่ตอนนี้ลืมวิธีคิดแบบนั้นไปแล้วเลยมาลองดูว่ามีใครคิดแบบสั้นๆได้บ้างน่ะครับ แต่ยากจริงๆครับ

ถ้าให้ผมทำข้อ 1. โดยใช้วิธีในบทความของคุณ nooonuii ผมทำไม่ได้แน่ครับ
เพราะผมไม่มีความรู้เกี่ยวกับเรื่องอสมการดีพอ แต่ถ้าเป็นแบบ free style
ก็คงพอถูไถไปได้ดังนี้ครับ

ให้\[f(x,y)=2+\sin(x+y)-\sin x-\sin y-\cos x-\cos y\]
ให้สังเกตว่า f เป็น periodic function ดังนั้นไม่ว่าเราจะพิจารณาโดเมนเป็น \(\mathbb R\times\mathbb R\)
หรือ \([0,2\pi)\times[0,2\pi)\) ก็ไม่ได้ทำให้เสียนัยแต่ประการใด

หา partial derivatives ของ f ได้คือ\[f_x(x,y)=\cos(x+y)-\cos x+\sin x\]
\[f_y(x,y)=\cos(x+y)-\cos y+\sin y\]
เพื่อหาจุดวิกฤตเราให้ \(f_x=f_y=0\) จะได้
\[\sin x -\cos x=\sin y-\cos y\]ดังนั้น
\[\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(y-\frac{\pi}{4}\right)\]
นั่นคือ \(y=x\) หรือ \(y=\frac{3\pi}{2}-x\)

แทนค่า \(y=x\) ลงในสมการ \(f_x=0\) จะได้
\[\cos2x-\cos x+\sin x=0\]
\[\cos^22x=(\cos x-\sin x)^2=1-2\sin x\cos x\]
\[1-\sin^22x=1-\sin2x\]
ดังนั้น \(\sin2x=0,1\) นั่นคือ \(x=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\)
แต่ x ที่เป็นคำตอบของสมการ จริงๆมีเพียง \(x=0,\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\)
ดังนั้นจุดวิกฤตที่ได้จากกรณีนี้คือ \((0,0),(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}),(\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4})\)

แทนค่า \(y=\frac{3\pi}{2}-x\) ลงในสมการ \(f_x=0\) จะได้ \(\sin x=\cos x\)
ดังนั้น \(x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\) เราจึงได้จุดวิกฤตจากกรณีนี้คือ \((\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}),(\frac{5\pi}{4},\frac{\pi}{4})\)

แทนค่าจุดวิกฤตทั้งหมดลงใน f(x, y) จะพบว่า \(f(0,0)=f(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})=0\) เป็นค่าต่ำสุดสมบูรณ์
ดังนั้น \((x,y)=(0,0),(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) จึงเป็นคำตอบทั้งหมดของโจทย์ข้อ 1. ครับ

[M@gpie]

โจทย์ของคุณ alonkorn นะคร้าบ
เผื่อว่าบางคนอาจจะสับสน พิกัดทรงกลมที่ผมใช้คือ \( (R,\phi,\theta) \)
สมการของพื้นผิวทรงกลมคือ
\[ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \]
ทำการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรุแบบพิกัดทรงกลมจะได้
\[สมการทรงกลมคือ R=2 \]
สมการเส้นโค้งที่ตัดทรงกลม เมื่อ \( z=1 \) คือ
\[ x^{2} +y^{2} = 3 \rightarrow R = \sqrt{3} \csc \theta\]
ทำการอินทิเกรตจะได้ปริมาตร
\[ V= \int _{0} ^{2\pi} \int _{0} ^{\frac{\pi}{3}} \int ^{2} _{\sqrt{3}\csc \theta}R^{2}sin \theta dRd \theta d \phi \]

[nooonuii]

คุณ warut นี่สุดยอดจริงๆครับ เดี๋ยวค่อยมาเฉลยข้อ 1 ให้ดูครับ เอาโจทย์ง่ายๆแต่คิดยากไปอีกข้อนึงครับ เพิ่งคิดได้สดๆร้อนๆ

11. จงเขียน \[ \large{ \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}} } \] ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย(เขียนเป็นผลบวกของจำนวนในเครื่องหมายกรณฑ์โดยที่มีสัมประสิทธิ์หน้าเครื่องหมายกรณฑ์เป็นจำนวนตรรกยะ)

[warut]

หวังว่าคำว่า "สุดยอด" ของคุณ nooonuii นี่เป็นคำชมนะครับ ไม่ใช่ว่าพอคุณ nooonuii
เอาเฉลยมาให้ดูแล้วถึงได้รู้ว่าวิธีของผมเป็นสุดยอดแห่งการอ้อมโลก

สำหรับข้อ 11. นี่มีวิธีที่ดีกว่าการทำตรงๆมั้ยครับ ยังไงก็แล้วแต่ผมก็ทำตรงๆไปแล้ว
ด้วยการกำจัดรากที่สามออกไปจากส่วนก่อน แล้วตามด้วยการกำจัดรากที่สองออกจากส่วน
ได้ผลลัพธ์คือ
\[\frac{7+3\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{4}-10\sqrt[6]{2}-4\sqrt[6]{32}}{31}\]
ตอนแรกจำโจทย์มาผิดด้วย นึกว่าคุณ nooonuii ให้หาว่าเป็นรากของสมการอะไร
ไหนๆก็เสียแรงทำไปแล้วก็ขอเอามาแปะไว้หน่อยนะครับ
\[31x^6-42x^5+3x^4+9x^2-6x+1=0\]

[M@gpie]

ข้อ 2 นะคร้าบ เนื่องจากว่า
\[ (x-2)^2 = (2-x)^2 \] แทนค่าตัวแปรเราจะได้โจทย์ใหม่เป็น
\[ x^4 + (x-2)^4 = 34 \]
ต่อไป สมมติให้ \( y= \frac{1}{2} (x + x - 2) = x - 1 \)
จะได้สมการใหม่เป็น \[ (y+1)^4 + (y-1)^4 = 34 \]
กระจายออกมา จะเหลือเทอมเป็น \[ y^4 +6y^2 - 16 = 0 \]
\[ (y^2 + 8 )(y^2 -6) = 0 \]
กรณี \( y^2 + 8 = 0 \) แทนค่า \( y=x-1\) กลับลงไป จะได้ สมการเป็น \[ (x-1)^2 +8 =0 \]
กระจายออกมา \[ x^2- 2x +9 = 0 \]
สามารถหาคำตอบได้ เป็น \[ x= 1+2\sqrt{2}i , 1-2\sqrt{2}i \]

กรณี \( y^2 +6 =0 \) แทนค่า \( y=x-1\) กลับลงไป จะได้ สมการเป็น \[ (x-1)^2 -2 =0 \]
กระจายออกมา \[ x^2- 2x -1 = 0 \]
สามารถหาคำตอบได้ เป็น \[ x= 1+\sqrt{2} , 1-\sqrt{2} \]
เท่ากับที่คุณ R-Tummykung de Lamar หาไว้แหละครับ

[M@gpie]

ข้อ 11 คงต้องพึ่งเอกลักษณ์นี้ช่วยในการทำล่ะคับ ไม่งั้นเหนื่อยแน่เลย
\[ (a+b+c)(a^2 +b^2+c^2 -ab -ac -bc ) = a^3+b^3+c^3 -3abc\]