คำถามครับ

gools · #1 23 มีนาคม 2005, 10:30

1. ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก APQ เป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยม จุด P อยู่บนด้าน BC จุด Q อยู่บนด้าน CD
1.1 ข้อความข้างต้นจะเป็นจริงเมื่อ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมชนิดใด
1.2 เมื่อข้อความข้างต้นเป็นจริงแล้ว ให้พิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม CPQ เท่ากับผลบวกของพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABP และสามเหลี่ยม ADQ

2. ให้ X เป็นจุดบนด้าน BC ของสามเหลี่ยม ABC และ Y เป็นจุดตัดของเส้นตรง AX กับวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ให้พิสูจน์หรือหาข้อขัดแย้งว่า ถ้าความยาวของเส่นตรง XY มีค่ามากที่สุดแล้ว เส้นตรง AX จะอยู่ระหว่างมัธยฐานจากจุด A และเส้นแบ่งครึ่งมุม BAC

3. ให้ $b_n$ เป็นจำนวนนับที่ประกอบด้วยเลขโดด $1,3 \ \text{และ}\ 4$ และผลรวมของเลขโดดของ $b_n$ เท่ากับ $n$ พิสูจน์ว่าเมื่อ $b_n$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์แล้ว $n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

4. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ กำหนดให้
\[a_n=1+2^{2}+3^{3}+ \cdots +n^{n}\]
จงพิสูจน์ว่า มีค่า $n$ จำนวนไม่จำกัดที่ทำให้ $a_n$ เป็นจำนวนประกอบคี่

5. ให้ $x+y+z=1:x,y,z>0$ จงพิสูจน์ว่า
\[\displaystyle \sqrt{3xyz}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}\right)\geq4+
\frac{4xyz}{(1-x)(1-y)(1-z)}\]

warut · #2 23 มีนาคม 2005, 13:12

ไปเอาโจทย์มาจากไหนครับเนี่ย ยากสุดๆ ขนาดข้อ 4. ที่ผมคิดว่าน่าจะง่ายที่สุด
สำหรับตัวผมเองแล้ว ยังเล่นเอาผมมึนไปหลายตลบ และวิธีที่ผมใช้นี่ก็คงไม่ใช่
วิธีที่ดีนักหรอกครับ

พิสูจน์ ข้อ 4.

พิจารณาค่าของ nⁿ mod 3 โดยเริ่มจาก n = 1 จะเห็นว่ามีคาบเป็น 6 ดังนี้
1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, ...

จากการบวกตัวเลขข้างบนเราจึงได้ว่า a_n mod 3 มีคาบเป็น 18 ดังนี้
1, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 2, ...
จากตัวเลขชุดนี้จะเห็นว่า ถ้า n อยู่ในรูป 18m + 14 แล้ว a_n หารด้วย 3 ลงตัว

เนื่องจาก ถ้า n อยู่ในรูป 4m + 2 แล้ว a_n จะเป็นเลขคี่ ดังนั้นเราจึงได้ว่า
ถ้า n อยู่ในรูป 36m + 14 แล้ว a_n จะเป็นจำนวนคี่ที่หารด้วย 3 ลงตัว

warut · #3 24 มีนาคม 2005, 01:07

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ gools:
3. ให้ $b_n$ เป็นจำนวนนับที่ประกอบด้วยเลขโดด $1,3 \ \text{และ}\ 4$ และผลรวมของเลขโดดของ $b_n$ เท่ากับ $n$ พิสูจน์ว่าเมื่อ $b_n$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์แล้ว $n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ข้อความนี้ไม่เป็นจริงครับ เช่น 1411344 = 1188²
แต่ผลรวมของเลขโดดของ 1411344 คือ 18 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์

gools · #4 24 มีนาคม 2005, 08:46

ต้องขอโทษด้วยครับ
โจทย์พวกนี้เอามาจาก olymon ของแคนาดาครับ
ผมอาจจะแปลโจทย์ผิดก็ได้ นี่คือต้นฉบับของข้อ 3 ครับ

Let $ b_n $ be the number of integers whose digits are all $1, 3, 4$ and whose digits sum to $n$. Prove that $b_n$
is a perfect square when $n$ is even.

Alberta · #5 24 มีนาคม 2005, 21:52

ข้อ1อะครับ ทำไมโจทย์มันแปลกๆหรือว่าผมอ่านผิด

warut · #6 30 มีนาคม 2005, 17:34

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ gools:
ต้องขอโทษด้วยครับ
โจทย์พวกนี้เอามาจาก olymon ของแคนาดาครับ
ผมอาจจะแปลโจทย์ผิดก็ได้ นี่คือต้นฉบับของข้อ 3 ครับ

3. Let $b_n$ be the number of integers whose digits are all $1,3,4$ and whose digits sum to $n$. Prove that $b_n$ is a perfect square when $n$ is even.

จากโจทย์ภาษาอังกฤษ ผมแปลได้ใจความว่า

"ให้ b_n เป็นจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่มีผลรวมของเลขโดดเท่ากับ n และเลขโดด
ในแต่ละหลักมีค่าเป็น 1 หรือ 3 หรือ 4 เท่านั้น จงพิสูจน์ว่าถ้า n เป็นเลขคู่แล้ว b_n จะ
เป็นกำลังสองสมบูรณ์"

ตัวอย่างเช่น b₆ = 9 เพราะมีเลขที่มีสมบัติดังกล่าวอยู่ 9 ตัวคือ
111111, 1113, 1131, 1311, 3111, 33, 114, 141, 411

ตามความเห็นของผมโจทย์ข้อนี้ยากมากๆๆ วิธีทำคร่าวๆเป็นดังนี้ครับ

จุดสำคัญคือให้สังเกตว่า b_n = b_n-1 + b_n-3 + b_n-4 เมื่อ n ณ 5
เนื่องจากจำนวนที่มีสมบัติดังกล่าวที่ลงท้ายด้วยเลข 1 มีอยู่ b_n-1 ตัว
ที่ลงท้ายด้วยเลข 3 มีอยู่ b_n-3 ตัว และที่ลงท้ายด้วยเลข 4 มีอยู่ b_n-4 ตัว

เราสามารถหา b_n ได้โดยการแก้ linear recurrence equation ซึ่งในกรณีนี้มี
characteristic equation คือ x⁴ - x³ - x - 1 = (x² + 1)(x² - x - 1) = 0
และจาก b₁ = b₂ = 1, b₃ = 2, b₄ = 4 เราจึงได้\[b_n= \frac{1}{5}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}+2\cos\frac{n\pi}{2}+ \sin\frac{n\pi}{2}\right)\]แทนค่า n = 2m เข้าไป เราจะได้ค่าของ b_n เมื่อ n เป็นเลขคู่
ซึ่งเราจะพบว่า b_2m = (F_m+1)² โดยที่ F_m คือ Fibonacci number ตัวที่ m คร้าบ

ยังไงรบกวนคุณ gools ช่วยบอกเฉลยของข้อนี้และข้อ 4 ด้วยนะครับ

gools · #7 11 กุมภาพันธ์ 2006, 18:11

ในที่สุดเขาก็ออกเฉลยมาซักทีครับ รอเฉลยมาเป็นปีแล้ว http://www.cms.math.ca/Competitions/...05/sol_mar.pdf

warut · #8 14 กุมภาพันธ์ 2006, 04:51

ขอบใจน้อง gools ครับที่ติดตามเอาเฉลยมาให้ เท่าที่อ่านดูเฉลยของข้อ 3. ข้างบน (= ข้อ 372. ในเฉลย) ทั้ง 2 วิธีในเฉลยไม่ได้ให้แง่คิดอะไรเลย มันเหมือนกับรู้อยู่แล้วว่า $b_{2m}=f_{m+1}^2$ แล้วก็ใช้ induction พิสูจน์ว่าเป็นจริง แต่ปัญหาของการทำโจทย์ประเภทนี้มันอยู่ที่ เราจะ "รู้" ได้ไงว่า $b_{2m}=f_{m+1}^2$ ไม่ได้อยู่ที่ว่า "รู้" แล้วจะ "พิสูจน์" ยังไง ผมว่านะ