British Mathematical Olympiad

[Tony]

British Mathematical Olympiad
Round 2 : Tuesday, 1 February 2005

1. The integer N is positive. There are exactly 2005 ordered pairs (x,y)
of positive integers satisfying
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{N} \]
Prove that N is a perfect square.

2. In triangle ABC,ะBAC=120ฐ. Let the angle bisectors of angles
A;B and C meet the opposite sides in D;E and F respectively.
Prove that the circle on diameter EF passes through D.

3. 3. Let a; b; c be positive real numbers. Prove that
\[ \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2 ณ \left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \]

4. Let X = {A₁,A₂ ... A_n} be a set of distinct 3-element subsets of { 1,2, ... , 36 } such that
i ) A_i and A_j have non-empty intersection for every i, j.
ii ) The intersection of all the elements of X is the empty sets
Show that nฃ100. How many such sets X are there when n = 100 ?

ใช้เวลา 3 ชั่วโมงครึ่ง และแต่ละข้อ 10 คะแนน

[nooonuii]

กำลังคั่วโจทย์อสมการอยู่ครับ แต่คิดไม่ออกง่ะ
เลยหันมาทำข้อ 1 แทนครับ ใครเป็นเซียนทฤษฎีจำนวนช่วยเช็คให้ผมด้วยครับว่าคิดถูกหรือปล่าว

จัดรูปสมการใหม่เป็น (x-N)(y-N) = N²
ดังนั้น x-N,y-N คือ ตัวประกอบของ N²
ถ้า x-N หรือ y-N ตัวใดตัวหนึ่งเป็นตัวประกอบลบของ N²
จะทำให้ x หรือ y ตัวใดตัวหนึ่งติดลบด้วยซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขโจทย์
ดังนั้น x-N และ y-N คือตัวประกอบที่เป็นบวกทั้งหมดของ N²
สมมติให้
\[ \large{ N = p_{1}^{a_1}p_{2}^{a_2} \dots p_{k}^{a_k} } \]
จะได้จำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกทั้งหมดของ N² คือ
\[ (2a_1 + 1)(2a_2 + 1) \dots (2a_k + 1) = 2005 = 5(401) \]
เนื่องจาก 401 เป็นจำนวนเฉพาะ เราจึงได้ว่า kฃ2
ดังนั้นเราจะได้ว่า 2a₁ + 1 = 1,5,401, หรือ 2005
และ 2a₂ + 1 = 2005,401,5, หรือ 1
ซึ่งจะได้ว่า a₁,a₂ฮ {0,2,200,1002}
นั่นคือ N เป็น perfect square

[gools]

ข้อ 3 ครับ

วิธีทำ

เราต้องการพิสูจน์ว่า
\[
(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
\]
ซึ่งสมมูลกับ
\[
\frac{c^{2}-2ac+ac+ab}{a^{2}}+\frac{a^{2}-2ab+ab+bc}{b^{2}}+\frac{b^{2}-2bc+bc+ca}{c^{2}}\geq 3
\]
เราจะพิสูจน์อสมการนี้แทน

เนื่องจาก
\[
\displaystyle{\begin{array}{rcl}
LHS. &\geq& \frac{c^{2}-(a^{2}+c^{2})+ac+ab}{a^{2}}+\frac{a^{2}-(a^{2}+b^{2})+ab+bc}{b^{2}}+\frac{b^{2}-(b^{2}+c^{2})+bc+ca}{c^{2}}\\
&=&\frac{ab+ac-a^{2}}{a^{2}}+\frac{bc+ab-b^{2}}{b^{2}}+\frac{bc+ca-c^{2}}{c^{2}}\\
&=& \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}-3\\
&\geq& 6-3 \quad\text{(โดยอสมการ AM-GM)}\\
&=& 3
\end{array}}
\]
จะได้ว่าอสมการเป็นจริงตามต้องการ

[gools]

ข้อ 2 ครับ

วิธีทำครับ

จากกฎของไซน์จะได้ว่า
\[
\begin{array}{rcl}
BF&=& \frac{\sin \frac{C}{2} \times CF}{\sin B}\\
&&\\
AF&=& \frac{\sin{\frac{C}{2}}\times CF}{\sin{120}^{\circ}} \\
&&\\
\therefore \qquad \frac{BF}{AF}&=&\frac{\sin{120}^{\circ}}{\sin{B}}=\frac{\sin{60}^{\circ}}{\sin{B}}\\
&&\\
\because \qquad \frac{BD}{\sin{60}^{\circ}}&=&\frac{AD}{\sin{B}}\\
&&\\
\frac{BD}{AD}&=&\frac{\sin{60}^{\circ}}{\sin{B}}=\frac{BF}{AF}\\
\end{array}
\]
ดังนั้นเส้น FD แบ่งครึ่งมุม ADB และพิสูจน์โดยวิธีเดียวกัน จะได้ว่าเส้น DE แบ่งครึ่งมุม ADC ทำให้ได้ว่า ะEDF=90ฐ
ดังนั้นมีวงกลมที่ล้อมรอบ DDEF โดยที่มีเส้น EF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จะได้ว่าวงกลมที่มีมีเส้น EF เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางจะผ่านจุด D

[Punk]

3. ทำง่ายกว่าที่คุณ gools เสนอได้ดังนี้ ให้ \( A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},B=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\) อสมการที่ต้องแสดงคือ \( A^2\geq3+A+B \)
ถ้า \(A\geq B \) ดังนั้น \( A^2\geq3A\geq3+A+B\) เพราะ \(A\geq3\)
ถ้า \( A\leq B \) กระจาย \( A^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2+2B\geq3+2B\geq3+A+B \) (โดยอสมการ AM-GM)

[Tony]

\[ BRITISHMATHEMATICAL OLYMPIAD \]
\[ Round 1 : Wednesday 13th January 1993 \]

1. Find, showing your method, a six-digit integer n with the following properties: (i) n is a perfect square, (ii) the number formed by the last three digits of n is exactly one greater than the number formed by the first three digits
of n. (Thus n might look like 123124, although this is not a square.)

2.A square piece of toast ABCD of side length 1 and centre O is cut in half to form two equal pieces ABC and CDA. If the triangle ABC has to be cut into two parts of equal area, one would usually cut along the line of symmetry BO. However,
there are other ways of doing this. Find, with justification, the length and location of the shortest straight cut which divides the triangle ABC into two parts of equal area.

3. For each positive integer c, the sequence un of integers is defned by
\[ u₁=1,u₂=c, u_n=(2n+1)u_n-1-(n²-1)u_n-2, (nณ3) \]

4. Two circles touch internally at M. A straight line touchesthe inner circle at P and cuts the outer circle at Q and R.
Prove that \( ะQMP = ะRMP \)

5. Let x; y; z be positive real numbers satisfying
\[ \frac{1}{3}ฃ xy+yz+zx ฃ 3 \]
Determine the range of values for (i) xyz, and (ii) x+y +z.

[gools]

คือว่าใน LATEX จะเขียน ubb code ไม่ได้น่ะครับ และนอกจากนั้นจะไม่มีการเว้นช่องว่างในคำสั่ง LATEX อีกด้วย เรื่องสัญลักษณ์ต่างๆ และการเว้นช่องว่างดูได้ที่นี่ครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Tony:
BRITISH MATHEMATICAL OLYMPIAD
Round 1: Wednesday 13th January 1993

3. For each positive integer c, the sequence u_n of integers is defined by
u₁ = 1, u₂ = c, u_n = (2n + 1)u_n-1 - (n² - 1)u_n-2, (n ณ 3)

โจทย์ที่ผมแก้ให้ใหม่นี่ถูกต้องรึยังครับ แล้วอะไรคือคำถามของโจทย์ข้อนี้เอ่ย

[Punk]

ข้อสอบ BMO 1993-2005 ดาวโหลดได้จาก นี่ครับ http://www.bmoc.maths.org/home/bmolot.pdf

[warut]

ขอบคุณมากครับสำหรับลิ้งก์ แล้วเค้ามีเฉลยให้มั้ยครับ

[Punk]

นี่เลยครับ http://www.kalva.demon.co.uk/bmo.html

[warut]

ขอบคุณอีกครั้งครับ แต่มีเฉลยเฉพาะ Round 2 เท่านั้นเอง มิน่าคุณ Tony ถึงเอามาถาม

ข้อ 3. For each positive integer c, the sequence u_n of integers is defined by
u₁ = 1, u₂ = c, u_n = (2n + 1)u_n-1 - (n² - 1)u_n-2, (n ณ 3).
For which values of c does this sequence have the property that u_i divides u_j
whenever i ฃ j?

วิธีทำของผมเป็นดังนี้ครับ (ใครมีวิธีที่ดีกว่าก็ช่วยบอกกันด้วยนะ)

ถ้า u₁ = 1, u₂ = c เราจะได้ u₃ = 7c - 8
เนื่องจาก u₂ ต้องหาร u₃ ลงตัว ดังนั้น c | 8
แสดงว่าค่า c ที่เป็นไปได้คือ 1, 2, 4, 8 เท่านั้น

ถ้า c = 1 จะได้ u₅ = -240 หาร u₆ = -2280 ไม่ลงตัว ดังนั้น c = 1 ใช้ไม่ได้
ถ้า c = 8 จะได้ u₃ = 48 หาร u₄ = 312 ไม่ลงตัว ดังนั้น c = 8 ใช้ไม่ได้

ถ้า c = 2 เราจะได้ว่า u_n = n! และถ้า c = 4 เราจะได้ว่า u_n = (n + 2)!/6
(พิสูจน์โดย induction) ดังนั้นสำหรับทั้งสองกรณีนี้ u_i | u_j "i ฃ j ตามต้องการครับ

[Punk]

วิธีของผมเป็นดังนี้ครับ เขียนสมการเวียนบังเกิดใหม่ได้
\[
u_n-nu_{n-1}=(n+1)[u_{n-1}-(n-1)u_{n-2}]\Longrightarrow v_n=(n+1)v_{n-1}
\]
เมื่อกำหนดให้ \( v_n:=u_n-nu_{n-1} \) ดังนั้นแก้สมการได้ \( v_n=(n+1)!(c-2)/3! \) ซึ่งที่เหลือก็ทำคล้ายๆกับของคุณ warut นั่นเองครับ

[warut]

ว้าว...มองโจทย์ได้ทะลุปรุโปร่งจริงๆครับ

[Tony]

ขอบคุณสำหรับลิงค์และการใช้คำสั่ง LaTeX นะครับ