รบกวนช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

[love kmitl]

1. จงพิสูจน์ว่า {xi} ; i= 1,2,3,... ซึ่งเป็น countable set นั้น เป็น nullset
2.จงพิสูจน์ว่า Cantor set เป็น uncountable set ครับ
ปล. อาจารย์ ให้ hint ข้อ2มา แต่ก็ยังทำไม่ได้อยู่ดีครับ รบกวนด้วยครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ love kmitl

1. จงพิสูจน์ว่า {xi} ; i= 1,2,3,... ซึ่งเป็น countable set นั้น เป็น nullset
2.จงพิสูจน์ว่า Cantor set เป็น uncountable set ครับ
ปล. อาจารย์ ให้ hint ข้อ2มา แต่ก็ยังทำไม่ได้อยู่ดีครับ รบกวนด้วยครับ ขอบคุณครับ

$1. \mu(\{x_i\})\leq\sum\mu(\{x_i\})$

$2.$ ให้ $C$ แทน Cantor set

ถ้า $x\in C$ จะได้ว่า $x$ สามารถเขียนให้อยู่ในรูป $\dfrac{a_1}{3}+\dfrac{a_2}{3^2}+\cdots$ เมื่อ $a_i\in\{0,2\}$

ดังนั้น ถ้าเราสามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก $C$ ไปยังเซตของลำดับของ $0,2$

ถ้าให้ $A=\{a_1a_2\cdots| a_i\in\{0,2\}\}$

เราจะได้ว่าฟังก์ชัน $f:C\to A$ นิยามโดย

$f\Big(\dfrac{a_1}{3}+\dfrac{a_2}{3^2}+\cdots\Big)=a_1a_2\cdots$

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

แต่ $A$ มี cardinality เหมือนกับ power set ของ $\mathbb{N}$ ซึ่งคือเซตของจำนวนนับ

เราสามารถสร้างฟังก์ชันได้ดังนี้

ให้ $B\subset \mathbb{N}$ สมมติ $B=\{b_1,b_2,...\}$ เมื่อ $b_1<b_2<\cdots$

นิยามลำดับ $a_1a_2\cdots$ โดย

$a_i=0$ ถ้า $i=b_i$

$a_i=2$ ถ้า $i\neq b_i$

ดังนั้นเราสามารถสร้างฟังก์ชัน

$g:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to A$ นิยามโดย

$g(B)=a_1a_2\cdots$ นิยามแบบข้างบน

สามารถเช็คได้ไม่ยากว่า $g$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง

ดังนั้น

$card(C)=card(A)=card(\mathcal{P}(\mathbb{N}))=2^{\aleph_0}=\aleph_1$

เราจึงได้ว่า $C$ เป็นเซตนับไม่ได้

[love kmitl]

ขอบคุณพี่ nooonuii ผมจะพยายามให้มากขึ้นครับ