พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยพาราโบลากับเส้นตรง

[flossy]

กำหนดให้พาราโบลา$y=x^2+1$ มีเส้นสัมผัสที่จุด$P(a,a^2+1)$ จงหาพื้นที่ s ที่ปิดล้อมด้วยเส้นสัมผัสดังกล่าวกับพาราโบลา $y=x^2$

ขอวิธีคิดด้วยนะค่ะ
thanks

[แมวสามสี]

$y=f(x)=x^2+1$

$f '(x)=2x$

$f '(a)=2a$

$2a$ คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัส$f(x)$ที่จุด $(a,a^2+1)$

หาสมการของเส้นสัมผัสจาก $y=2ax+c$

$a^2+1=2a(a)+c$ จะได้ $c= 1-a^2$

ได้สมการของเส้นสัมผัสคือ$y=2ax+1-a^2$

หาจุดตัดของ $y=2ax+1-a^2$ กับ$y=x^2$

$x^2=2ax+1-a^2$

$x^2-2ax-1+a^2=0$

$(x-a)^2-1=0$

$(x-a+1)(x-a-1)=0$

ได้จุดตัดคือ $(a-1,(a-1)^2)$และ$(a+1,(a+1)^2)$

จากนั้นก็หาพื้นที่โดย $$\int_{a-1}^{a+1} {(2ax+1-a^2-x^2)}dx$$