หาเศษเหลือ 1 ข้อครับ

[fOrgetfuL`]

ถ้า $a_{n} = 4^{n} + 6^{n}$
แล้ว จงหาเศษเหลือจากการหาร $a_{2551}$ ด้วย $25$

ผมคิดโดยให้เหตุผลแบบอุปนัยครับ
เลยอยากทราบวิธีอื่นๆด้วย

[LightLucifer]

ทวินามก็ได้ครับ

[HIGG BOZON]

นำวิธีมาจากเฉลยของคุณวีรพันธ์ ชมชูเวชช์ จากหนังสือเฉลยคณิตศาสตร์โอลิมปิกนะครับ
จาก $a_{2551} = 4^{2551}+6^{2551}$ เพราะว่า $4^5+1 = 1,025$
ฉะนั้น $25|4^5+1$ และ $4^{10}-1 = (4^5-1)(4^5+1)$
ส่งผลให้ $25|4^{10}-1$ แต่ $4^{2550}-1 = (4^{10})^{255}-1$
จึงได้ว่า $25|4^{2550}-1$ เนื่องจาก $4^{2551} = 4(4^{2550}-1)+4$
ดังนั้น $25$ หาร $4^{2551}$ เหลือศษเท่ากับ $4$
เพราะว่า $6^5-1 = 7,775$ ฉะนั้น $25|6^5-1$ และ $6^{2550}-1 = (6^5)^{510}-1$
จึงได้ว่า $25|6^{2550}-1$ และเนื่องจาก $6^{2551}=6(6^{2550}-1)+6$
ดังนั้น $25$ หาร $6^{2551}$ เหลือเศษเท่ากับ $6$
เพราะฉะนั้น เศษเหลือที่ได้จากการหาร $a_{2551}$ ด้วย $25$ คือ $4+6 = 10$
ทฤษฎีบทอ้างอิง ให้ $a,b,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า $a|b-1$ แล้ว $a|b^n-1$