ช่วยตรวจคำตอบ และแนะแนวทางแก้โจทย์หน่อยครับ

hmongkung · #1 26 สิงหาคม 2005, 08:19

ช่วยตรวจคำตอบหน่อนนะครับ

1. เลขประจำตัวประชาชนเป็นเลข 13 หลัก จงหาว่ามีเลขประจำตัวประชาชนกี่หมายเลขที่ประกอบด้วยตัวเขที่ซ้ำกัน (สมมุติว่าเลขใดๆที่เป็นเลข 13 หลักเป็นเลขบัตรได้)
คำตอบ 10¹³ หรือเปล่าครับ

2.จงหาจำนวนการจัดเรียง 0,1,...,9 ที่ตัวเลขตัวแรกเป็น 2 และตัวสุดท้ายน้อยกว่า 17
คำตอบ 8!*6 ใช่ไหมครับ

3.จงหาว่ามีตัวเลขฐานสิบ 5 หลักเป็นจำนวนกี่ตัวที่ไม่มีเลขศูนย์ติดกัน 3 ตัว
ตอบ 10⁵ - 300

4.ในการจัดเรียงตัวเลข 0,1,...,9 จะมีตัวเลขอยู่กี่ตัวที่
ก) มีลำดับเลข 123 หรือลำดับเลช 456 ตอบ 8!+8!-(5!*4)
ข) ไม่มีทั้งลำดับเลข 123 และลำดับเลข 7890 ตอบ 10! - (8!+7!-(4!*3))

ช่วยแนะหาวิธีหน่อยครับ

5. จงหาว่ามีหมายเลขสลากกินแบ่งกี่หมายเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขที่ติดกันเหมือนกัน

6.ในเดือนกุมภาพันธ์ที่ผ่านมา บริษัทแห่งหนึ่งขายคอมพิวเตอร์ๆได้100เครื่อง เป็นเครื่องที่มีจอสี 50 เครื่อง เป็นเครื่องที่มีฮาร์ดดิกส์ 50 เครื่อง และขายเครื่องพร้อมเครื่องพิมพ์ 30 เครื่อง ในจำนวนนี้มีอยู่ 5 ชุด ที่มีทั้งจอสี ฮาร์ดดิกส์ และเครื่องพิมพ์ อยากทราบว่าบริษัทนี้ขายเครื่องไปอย่างน้อยกี่เครื่องที่ไม่ใช้จอสี ไม่มีฮาร์ดิกส์ และม่มีเครื่องพิมพ์

คิดไม่ออกเหมือนกันครับช่วยแนะวิธีให้หน่อยครับ และช่วยตรวจคำตอบด้วยครับ

ขอบคุณครับ

gon · #2 26 สิงหาคม 2005, 20:46

ข้อ 1. เลขประจำตัวประชาชนเป็นเลข 13 หลัก จงหาว่ามีเลขประจำตัวประชาชนกี่หมายเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขที่ซ้ำกัน

ถามแบบนี้ไม่ชัดเจนครับ. ถ้าจะตอบ 10¹³ ควรจะตั้งว่า "เลขประจำตัวประชาชนเป็นเลข 13 หลัก จงหาว่ามีเลขประจำตัวประชาชนกี่หมายเลขที่ยอมให้ใช้ตัวเลขที่ซ้ำกันได้" เพราะถ้าบอกว่าต้องการเฉพาะบัตรที่หมายเลขซ้ำ อันนี้จะกลายเป็นคำถามที่ยากไปเลยครับ ว่าต้องการซ้ำมากน้อยแค่ไหน ซ้ำ 1 , ซ้ำ 2 ฯลฯ แบ่งกรณีไม่รู้เท่าไร

ข้อ 2 ถ้าโจทย์เป็น "จงหาจำนวนการจัดเรียง 0,1,...,9 ที่ตัวเลขตัวแรกเป็น 2 และตัวสุดท้ายน้อยกว่า 17" คำตอบคือ 9! ครับ.

แต่ถ้าโจทย์เป็น "จงหาจำนวนการจัดเรียง 0,1,...,9 ที่ตัวเลขตัวแรกเป็น 2 และตัวสุดท้ายน้อยกว่า 7" คำตอบคือ (8!)(6) ถูกต้องครับ

ข้อ 3 ไม่น่าจะถูกครับ

ในเบื้องต้นสมมติว่าเป็นกรณีอย่างง่าย คือ ยอมให้มีเลขเช่น 00004
กรณีที่ 1 : 0 ติดกัน 3 ตัว
กรณีที่ 1.1 : 0 0 0 ? x มีได้ 9 x 10 = 90 จำนวน
กรณีที่ 1.2 : x 0 0 0 y มีได้ 9 x 9 = 81 จำนวน
กรณีที่ 1.3 : x ? 0 0 0 มีได้ 9 x 10 = 90 จำนวน
กรณีนี้รวม 161 จำนวน

กรณีที่ 2 : 0 ติดกัน 4 ตัว
กรณีที่ 2.1 : 0 0 0 0 ? มีได้ 9 จำนวน
กรณีที่ 2.2 : ? 0 0 0 0 มีได้ 9 จำนวน
รวม 18 จำนวน

กรณีที่ 3 : 0 ติดกัน 5 ตัว มี 1 จำนวน

รวมทั้งหมด 161 + 18 + 1 = 180 จำนวน

ดังนั้นลขฐานสิบ 5 หลักเป็นจำนวนที่ไม่มีเลขศูนย์ติดกัน 3 ตัว จะมี 10⁵ - 180 จำนวน

hmongkung · #3 26 สิงหาคม 2005, 23:02

ขอบคุณครับที่ช่วยแนะนำครับพี่gon

ในข้อ 1 นั้น ผมว่า 10¹³ เพราะว่าในโจทย์มีวงเล็บ ว่า สมมติว่าเลขใดๆ ที่เป็นเลข 13 หลักเป็นเลขบัตรได้ อ่ะครับ

ข้อ 2 จริงครับในโจทย์เป็น 7 ไม่ใช่ 17

ข้อ 3 ก็จริงครับ ผมดูโจทย์ผิดเองครับ

ขอเพิ่มเติมครับเพิ่งคิดคำตอบเมื่อเช้า

ข้อ 7 หลังการตรวจสภาพของใบเลื่อยในคลังสินค้าของบริษัทขายใบเลื่อยแห่งหนึ่ง พบว่า 30%ของใบเลื่อยอยู่ในสภาพดี 40% ของใบเลื่อยขึ้นสนิม หรือไม่ก็หัก (แต่ไม่ทั้งหักและขึ้นสนิม) และพบว่าจำนวนใบเลื่อยที่หักเท่ากับจำนวนใบเลื่อยที่ขึ้นสนิม อยากทราบว่ามีจำนวนใบเลื่อยที่หักกี่ %
ตอบ 50%

ข้อ 8 ในงานเลี้ยงงานหนึ่ง มีการจับฉลากแจกของรางวัลจำนวน 4 รางวัล ให้แขกผู้โชคดีจากแขกทั้งหมด 100 คน โดยแขกแต่ละคนจะมีหมายเลขประจำตัว ตั้งแต่เลข 1 ถึง 100 จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้ได้รับรางวัลทั้งหมดมีหมายเลขเป็นเลขคี่ หรือหาร 5 ลงตัว หรือหาร 7 ลงตัว
ตอบ (66*65*64*63)/(100*99*98*97)หรือเปล่าครับ

ข้อ 9 จงหาความน่าจะเป็นที่สามีภรรยา 3 คู่ ที่นั่งรอบโต๊ะกลมโดยที่ไม่มีสามีภรรยาคู่ใดนั่งติดกัน ข้อนี้ช่วยแนะแนวทางหน่อยครับ

สุดท้ายช่วยลบกระทู้ ช่วยแนะนำหน่อยครับ ที่ผมตั้งหน่อยครับ มันตั้งผิดครับ

hmongkung · #4 26 สิงหาคม 2005, 23:15

พี่ gon ครับ ตรงข้อ3อ่ะครับ
ในเบื้องต้นสมมติว่าเป็นกรณีอย่างง่าย คือ ยอมให้มีเลขเช่น 00004
กรณีที่ 1 : 0 ติดกัน 3 ตัว
กรณีที่ 1.1 : 0 0 0 ? x มีได้ 9 x 10 = 90 จำนวน
กรณีที่ 1.2 : x 0 0 0 y มีได้ 9 x 9 = 81 จำนวน
กรณีที่ 1.3 : x ? 0 0 0 มีได้ 9 x 10 = 90 จำนวน
กรณีนี้รวม 161 จำนวน

กรณีที่ 2 : 0 ติดกัน 4 ตัว
กรณีที่ 2.1 : 0 0 0 0 ? มีได้ 9 จำนวน
กรณีที่ 2.2 : ? 0 0 0 0 มีได้ 9 จำนวน
รวม 18 จำนวน

กรณีที่ 3 : 0 ติดกัน 5 ตัว มี 1 จำนวน

รวมทั้งหมด 161 + 18 + 1 = 180 จำนวน

ดังนั้นลขฐานสิบ 5 หลักเป็นจำนวนที่ไม่มีเลขศูนย์ติดกัน 3 ตัว จะมี 10⁵ - 180 จำนวน

ตรงกรณี0 สามตัวติดกัน มันต้องเป็น 261 หรือเปล่าครับ คำตอบเป็น 10⁵ - 280
ใช่ไหมครับ

gon · #5 27 สิงหาคม 2005, 19:34

ข้อ 3 พี่บวกเลขผิดเองครับ

สำหรับข้อ 4
ก. นี่ต้องถามก่อนว่าโจทย์หมายถึงแบบไหน โจทย์เรื่องพวกนี้อย่างแรกต้องเข้าใจโจทย์ตรงกันก่อนครับ ไม่งั้นคิดเท่าไรก็ไม่ตรงใจคนตั้งคำถาม บางคนคิดว่าตั้งโจทย์ตามที่ตัวเองเข้าใจ แล้วคนอ่านเข้าใจตรงกันตรงนี้ต้องชัดเจนก่อน

คำว่ามีลำดับเลข 123 นี่ต้องถามก่อนว่าหมายถึง 123 สลับที่กันได้ไหม ? ไม่ต้องติดกันก็ได้ใช้ไหม (บางทีคนตั้งโจทย์ใช้ภาษาไม่ถูก)

ใช่เป็นแบบนี้หรือเปล่า คือ ขอให้เวลาอ่านกวาดตาจากซ้ายไปขวาจะเจอเลข 1, 2 และ 3 โดยไม่จำเป็นต้องอยู่ติดกันก็ได้ เช่น 5016728934 หรือยังไง

passer-by · #6 28 สิงหาคม 2005, 00:14

อ้างอิง:

ข้อ 9 จงหาความน่าจะเป็นที่สามีภรรยา 3 คู่ ที่นั่งรอบโต๊ะกลมโดยที่ไม่มีสามีภรรยาคู่ใดนั่งติดกัน

ขออธิบายแค่ แนวคร่าวๆ นะครับ
ให้ n(A) ,n(B) ,n(C) แทนจำนวนวิธีที่ สามี-ภรรยา คู่ที่ 1 ,2,3 จะนั่งติดกัน ตามลำดับ และถ้า n(S) คือจำนวนวิธีใน sample space

คำตอบข้อนี้ก็คือ \(\large 1-\frac{n(A\cup B \cup C)}{n(S)} \)

เมื่อ n(Aศ Bศ C)= n(A)+n(B)+n(C) - n(Aว B)-n(A วC) -n(B วC) +n (Aว Bว C)

hmongkung · #7 29 สิงหาคม 2005, 07:01

ครับพี่ gon ผมยังว่าบางทีอ่านโจทย์แล้วยังงงอ่ะครับ

ผมว่าในข้อ4เนี่ย ลำดับเลข 123 หรือ 456 เลขสามตัวสองชุดเนี่ยต้องอยู่ติดกัน มั่งครับ

เช่น123xxxxxxx หรือ x123xxxxxx
อย่างนี้มั่งครับ ตามความเข้าใจของผม

gon · #8 29 สิงหาคม 2005, 20:33

ข้อ 4 ก. ถ้าคิดเป็นแบบที่น้อง hmongkung ว่ามาคิดลึกซึ้งเกินไปหรือเปล่าครับ เท่าที่คิดดู
น่าจะเป็นเพียง 8! + 8! - 6!
ตรง 6! คือกรณีที่มีลำดับ 123 และ ลำดับ 456 ดังนั้นงานของเราคือการสลับของ 6 สิ่ง คือ 123, 456, 0, 7, 8, 9 ซึ่งทำได้ 6! วิธี
(ลองตรวจสอบกรณีที่ง่ายกว่า คือ ถ้ามีเพียงจำนวนที่ใช้ได้คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6)

ข้อ ข.ก็เช่นเดียวกันครับ ถ้าเป็นพี่ก็8'จะตอบเพียง 10! - (8! + 7! - 5!)

ข้อที่ 5 อ่านโจทย์แล้วไม่เข้าใจครับ โจทย์ที่ดีควรจะยกตัวอย่างประกอบเล็กน้อยด้วย เพราะพี่ไม่อยากจะปวดหัวคิดกรณีทั่วไปสุด ๆ ครับ ติด 1 ตัว ติด 2 ตัว , .... (โทษโจทย์ก่อนอยู่เรื่อยเลย

)

สำหรับข้อ 6 คิดว่าตัวเลขที่โจทย์ให้มาบกพร่องครับ
เมื่อลองวาดแผนภาพเวนน์ออยเลอร์เป็นวงกลม 3 วง ตัดกัน
ให้ A แทน เครื่องที่มีจอสี , B แทนเครื่องที่มี Hd และ C = เครื่องที่ขายพร้อมเครื่องพิมพ์
จากโจทย์จะได้ว่าตรงกลางคือ 5
และถ้าให้ a, b, c, d, e, f , g แทนจำนวนของส่วนต่าง ๆ ที่เหลือ โดย g แทนจำนวนส่วนที่อยู่นอกวงกลมทั้งสาม จะได้สมการว่า
(1) a + b + c + d + e + f + g = 95
(2) a + b + d = 45
(3) b + c + e = 45
(4) d + e + f = 25

จับ (2) + (3) + (4) : (a + b + c + d + e + f) + (b + d + e) = 115
แต่จาก (1) : a + b + c + d + e + f = 95 - g แทนลงไปจะได้
95 - g + (b + d + e) = 115 --> b + d + e = 20 + g
แต่ b + d + e >= 0 ดังนั้นแสดงว่า 20 + g >= 0 หรือ g >= -20
แสดงว่าขายไปอย่างต่ำ -20 เครื่องที่ไม่ใช้จอสี ไม่มี Hd และ ไม่มีเครื่องพิมพ์

น่าจะแบบนี้ล่ะมั้งครับ.

hmongkung · #9 30 สิงหาคม 2005, 00:15

ครับพี่ gon ข้อ4 เนี่ยถูกต้องครับแล้วผม ไปเอา 5!*4 กับ 4!*3มาจากไหนอ่ะ

ข้อ5 จงหาว่ามีหมายเลขสลากกินแบ่งกี่หมายที่ประกอบด้วยตัวเลขที่ติดกันเหมือนกัน
ผมว่าน่าจะเป็น 10⁶ - (10*9*8*7*6*5) สลากกินแบ่งมี6หลักหรือเปล่าครับ ก็คงได้อย่างงี้อ่ะ โดยที่ 10*9*8*7*6*5 คือหมายเลขที่ ไม่มีตัวเลขติดกันเลย

อ่านเล่มนี้จบผมว่าไปเป็นนักตีความดีกว่าครับ

hmongkung · #10 30 สิงหาคม 2005, 20:06

ผมว่าข้อ5คงผิด เด๋วผมไปคิดมาใหม่

gon · #11 31 สิงหาคม 2005, 20:20

เดี๋ยวขอเวลาพี่สักแป๊บนะครับ เมื่อคืน My Maths จัดเลี้ยงต้อนรับ อ.นักคณิตศาสตร์ ชาวเวียตนาม 3 คน เลยกลับมาดึกดื่นมาก เพิ่งรู้สึกว่าภาษาอังกฤษมันมีความสำคัญจริง ๆ ก็คราวนี้ล่ะี้ นั่ง ๆ ฟังกับเขาอยู่ก็พอจะรู้เรื่องบ้าง แต่พอเวลาจะพูดนี่สิมันไม่ได้ดั่งใจเลย ต้องนั่งแต่งประโยคในใจก่อน

เดี๋ยวดึก ๆ จะลองคิดต่ออีกสักข้อสองข้อ

gon · #12 31 สิงหาคม 2005, 22:37

ข้อ 7 : ได้ 50% เท่ากันครับ.

ข้อ 8 นี่ถ้าไม่พิมพ์ตก คนตั้งโจทย์ก็ผิดพลาดอย่างแรงมากครับ เป็นเรื่องที่ต้องเน้นย้ำกันตั้งแต่สมัยประถมทีเดียว คำว่าหาร 5 ลงตัว กับคำว่า หารด้วย 5 ลงตัว คนละความหมายเลยนะครับ ถ้าหาร 5 ลงตัวก็มีแค่ 1 กับ 5 แต่ถ้าหารด้วย 5 ลงตัวก็มี 5, 10, ... , 100
ดังนั้นข้อนี้ถ้าโจทย์เป็น เป็นเลขคี่ หรือหาร 5 ลงตัว หรือหาร 7 ก็จะมีแค่ 50 ตัว ด้วยความน่าจะเป็น 50/(100)(98)(97)(96)
แต่ถ้าโจทย์เป็น เป็นเลขคี่ หรือหารด้วย 5 ลงตัว หรือหารด้วย 7 ลงตัวก็จะได้เท่ากับที่น้องตอบมาครับ.

hmongkung · #13 31 สิงหาคม 2005, 23:52

ในข้อ8 นั้น หาร5ลงตัวครับคงเป็นอย่างที่พี่ gon บอกครับ

ในข้อ 5 ผมว่า เป็น 10⁶-(10*9⁵) ครับ
เพราะ 10⁶ คือจำนวนหมายเลขสลากทั้งหมด
และ (10*9⁵) คือจำนวนที่ตัวเลขไม่ติดกัน และซ้ำกันได้
เมื่อเอามาลบกันเลย ได้คำตอบ นี้ครับ

6.ในเดือนกุมภาพันธ์ที่ผ่านมา บริษัทแห่งหนึ่งขายคอมพิวเตอร์ๆได้100เครื่อง เป็นเครื่องที่มีจอสี 50 เครื่อง เป็นเครื่องที่มีฮาร์ดดิกส์ 50 เครื่อง และขายเครื่องพร้อมเครื่องพิมพ์ 30 เครื่อง ในจำนวนนี้มีอยู่ 5 ชุด ที่มีทั้งจอสี ฮาร์ดดิกส์ และเครื่องพิมพ์ อยากทราบว่าบริษัทนี้ขายเครื่องไปอย่างน้อยกี่เครื่องที่ไม่ใช้จอสี ไม่มีฮาร์ดิกส์ และไม่มีเครื่องพิมพ์

ผมว่า มันเน้นตรงที่ อย่างน้อยอ่ะครับ ผมว่าโจทย์ข้อนี้มันแปลกๆๆนะครับ โดยประโยคที่ว่า "ขายเครื่องไปอย่างน้อยกี่เครื่องที่ไม่ใช้จอสี ไม่มีฮาร์ดิกส์ และไม่มีเครื่องพิมพ์" มันคงไม่เหมือน ประโยค "ขายเครื่องไปไปกี่เครื่อง ไม่มีอุปกรณ์3ชนิดนี้

ซึ่งในข้อ8เนี่ยยัง โดนตีความผิดไปได้เลยอ่ะครับ

เรื่องภาษาอังกฤษเนี่ย มันต้องได้ใช้ด้วยครับถึงจะเก่ง แต่ผมสงสัยนะครับ โจทย์คณิตศาสตร์โอลิมปิกต่างประเทศ ทำเป็นภาษาอังกฤษใช่ไหมครับ ถ้างั้นต้องนั่งแปล และยังต้องนั่งทำความเข้าใจอีก คิดแล้วก็หนาวเหมือนกันนะครับ ขนาดภาษาบ้านเราแท้ๆๆยัง ตีความต่างกันเลย

ส่วนผมก็คิดไปเรื่อยๆๆเหมือนกันครับ ก็ช่วยๆๆกันทำครับ
ขอบคุณครับ

deathspirit · #14 20 กันยายน 2005, 21:19

ขอถามหน่อยครับว่า

ข้อ3 ถ้า 0 อยู่ในหลักแรกสุด(หลักหมื่น) ก็ถือว่ามี 5 หลัก (ทำไมไม่ใช่ 4 หลัก ซึ่งจะไม่ตรงกับโจทย์)

ข้อ7 ไม่เข้าใจว่าทำไมถึงตอบว่า 50% ครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ