คณิต(ศาสตร์)คิดข้ามวัน คืนละข้อ

คusักคณิm · #1 20 สิงหาคม 2009, 19:36

1.กำหนด a,b เป็นคำตอบของสมการ $x = \sqrt{ x-(1/x)}+\sqrt{1-(1/x)}$ แล้ว $a^{13} + b^{13}$ มีค่าเท่าไร
(20/8/52 เพชรยอดมงกุฎ)

[SIL] · #2 20 สิงหาคม 2009, 20:01

โจทย์ถูกรึปล่าวน่อ

คusักคณิm · #3 20 สิงหาคม 2009, 20:38

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

โจทย์ถูกรึปล่าวน่อ

ถูกแล้วครับ

Onasdi · #4 20 สิงหาคม 2009, 22:26

ย้ายข้าง $\displaystyle{x-\sqrt{x-\frac{1}{x}}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}}$
ยกกำลังสอง $\displaystyle{x^2-2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}+x-\frac{1}{x}=1-\frac{1}{x}}$
หาร x ตลอด(เพราะ x ไม่เป็นศูนย์) $\displaystyle{x-2\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1=\frac{1}{x}}$
จัดรูป $\displaystyle{\Bigg[\sqrt{x-\frac{1}{x}}\Bigg]^2-2\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1=0}$
ได้ $\displaystyle{\Bigg[\sqrt{x-\frac{1}{x}}-1\Bigg]^2=0\Rightarrow x-\frac{1}{x}=1\Rightarrow x^2-x-1=0}\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

ทีนี้ผมไม่เห็นวิธีง่ายๆที่จะหา $a^{13}+b^{13}$ ครับ ช่วยกันคิดนะ
ที่ผมคิดออกก็มีอาจจะยกกำลังตรงๆเลยครับ คิดไปคิดมาก็พอไหวนะ ฮ่าๆๆ แต่ไม่สวย
[คำนวณแต่พจน์ที่คี่ เพราะพจน์ที่คู่ตัดกน รวมแล้วก็ 7 พจน์ที่ต้องคิด]
จะพยายามเอาสูตร $\displaystyle{F_n=\frac{a^n-b^n}{\sqrt{5}}}$ มาช่วย ก็ยังไม่เจอแบบง่ายๆ ที่ีคิดออกคือหา $F_{13}$ กับ $F_{26}$ ครับ

LightLucifer · #5 20 สิงหาคม 2009, 22:46

ถึกเลยครับยัดทวินามกระจายออกมาเลย

หยินหยาง · #6 20 สิงหาคม 2009, 23:12

โจทย์ลักษณะนี้จะเจอบ่อยในข้อสอบแข่งขัน และเป็นที่รู้กันว่า จัดรูปใหม่ จะได้ $x^2-x-1 =0$ จะพบว่าคำตอบของสมการมีได้เพียงค่าเดียวคือ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ต่อจากนั้นโจทย์จะให้หาค่า ที่เกี่ยวกับราก มีวิธีง่ายทำได้โดย $x^2 =x+1$
$x^4 =x^2+2x+1 =3x+2$
$x^8= 9x^2+12x+4 =9(x+1)+12x+4 =21x+13$
$x^{12} =x^4*x^8 =(21x+13)(3x+2) = 63x^2+81x+226 =144x+89$
$x^{13} = x(144x+89) =233x+144=233(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+144$
สังเกตให้ดีจะเป็นเลขฟีโบนักชี่
จริงๆ เร็วๆนี้ก็มีคนมาถามโจทย์ลักษณะทำนองนี้ ซึ่งผมก็เคยโพสต์ไปแล้วแต่จำไม่ได้ว่าอยู่กระทู้ไหนครับ

mamypoko · #7 20 สิงหาคม 2009, 23:13

คือ ผม รู้วิธีคิด $a^13+b^13$ แต่คิด ว่ามันจะมา แบบ คุณ Onasdi ไม่ออกเลยมาต่อให้นะครับ
เราสังเกต จะได้ว่า $a+b + a^2+b^2 = a^3+b^3 $ จาก $a+b = 1 , a^2 + b^2 = 3 ,
a^3 +b^3 = 4 $ ครับ และ มันจะเรียงไปเรื่อยๆ ดังนั้น เราจะหา $a^13 +b^13$ ได้แล้ว
$a+b = 1 $
$a^2+b^2= 3$
$a^3+b^3 = 4 $
$a^4+b^4 = 7 $
$a^5+b^5 = 11$
$a^6+b^6 = 18$
$a^7+b^7 = 29 $
$a^8+b^8 = 47 $
$a^9+b^9 = 76 $
$a^{10} +b^{10} = 123 $
$a^{11} +b^{11} = 199 $
$a^{12} +b^{12} = 322 $
$a^{13} +b^{13} = 521 $

เอ่อ เลขยกกำลังมันตกผมทำไม่เป็นอะ นะ เอาแบบ นี้ไปก่อน
แก้แล้ว ครับที่มี 11 สองครั้ง

Onasdi · #8 20 สิงหาคม 2009, 23:19

เจอแล้วครับๆ เย่ๆ
a, b สอดคล้อง $x^2-x-1=0$
ได้ $x^2=x+1$
$\Rightarrow x^4=x^2+2x+1=(x+1)+2x+1=3x+2$
$\Rightarrow x^8=9x^2+12x+4=9(x+1)+12x+4=21x+13$
$\Rightarrow x^{13}=x^8\cdot x^4\cdot x^2=(21x+13)(3x+2)(x+1)$
$=(21x+13)(3(x+1)+5x+2)=(21x+13)(8x+5)=168(x+1)+209x+65=377x+233$
โอ้ แอบถึกนะครับ เล่นเอาเหนื่อยเลย
$a^{13}+b^{13}=377(a+b)+466=377+466=843$
เช็คคำตอบด้วยนะครับ มึนครับ

Onasdi · #9 20 สิงหาคม 2009, 23:25

โอ๊ย ตอบช้าไป พอดีไม่ทันเห็นครับ
วิธีของผมเหมือนกับของคุณหยินหยาง ส่วนวิธีของคุณ mamypoko ก็ดูดีครับ จะลองไปพิสูจน์ดูครับ
แต่ของงนิดนึงครับ เทียบกับของคุณหยินหยางเลยเจอที่ผิดของผม ตรง $x^{13}=x^8\cdot x^4\cdot x^2$
งั้นก็แสดงว่าที่ผมหามาคือ $a^{14}+b^{14}$ แล้วทำไมไปตรงกับของคุณ mamypoko เป๊ะเลยครับ

Edit:
อ่อ เจอที่ผิดของคุณ mamypoko แล้วครับ มันมี 11 สองครั้งครับ

แล้วก็เข้าใจแล้วครับ $(a^n+b^n)+(a^{n+1}+b^{n+1})=(a^{n+2}+b^{n+2})$ เพราะว่า $a^n+a^{n+1}=a^{n+2}$
สรุปแล้วตอบ 521 ครับ

หยินหยาง · #10 20 สิงหาคม 2009, 23:44

จะมาบอกว่าโจทย์ข้อนี้มีความไม่สมบูรณ์ตรงที่โจทย์บอกว่า a , b เป็นคำตอบของสมการซึ่งค่าที่ใช้ได้มีเพียงค่าเดียวคือค่าที่เป็นบวกเท่านั้น (ตามที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น)

Onasdi · #11 20 สิงหาคม 2009, 23:57

โอ้ เพิ่งเห็นครับ จริงด้วยครับ คนออกพลาด

คusักคณิm · #12 21 สิงหาคม 2009, 08:00

2.ให้จำนวนเต็มบวก m ที่ทำให้$7m^2+7m+7$เป็นเจ็ดยกกำลังสี่ (แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ช่วงชั้นที่ 3 ระดับเขตพื้นที่การศึกษา 21/8/52)

banker · #13 21 สิงหาคม 2009, 10:19

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

2.ให้จำนวนเต็มบวก m ที่ทำให้$7m^2+7m+7$ เป็น $7^4$ (แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ช่วงชั้นที่ 3 ระดับเขตพื้นที่การศึกษา 21/8/52)

โจทย์ให้หาอะไรครับ

$7m^2+7m+7 = 7^4 $

$(m^2+m+1) = 7^3 = 343$

$ m^2 + m -342 =0$

$(m-18)(m+19) = 0 $

$m =18, -19$

แทนค่าแล้ว สมการเป็นจริงทั้งสองค่า
แต่โจทย์กำหนด ให้หาค่าจำนวนเต็มบวก m ?

ตอบ $m=18$

คusักคณิm · #14 22 สิงหาคม 2009, 11:02

3.(22/8/52 เตรียมอุดมฯ)
จงหาค่าของ $\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}\times\frac{15}{16}\times...\times\frac{9999}{10000}$

TuaZaa08 · #15 23 สิงหาคม 2009, 21:37

ลองจัดรูปแล้วแยกเป็นผลต่างกำลังสองเอา

เด่วก้อได้

ปล. No Latex อ่ะ