(x-a)(x-59)=(x-b)(x-c)+97

[goodnews]

กำหนดให้ (x-a)(x-59)=(x-b)(x-c)+97 จงหาค่าสูงสุดของ a+b+c ใครเคยเจอ

โจทย์แบบนี้ช่วยคิดทีครับ

[หยินหยาง]

$a, b, c$ เป็นจำนวนเต็มหรือเปล่า ถ้าใช่ผมคิดได้ค่าสูงสุดของ $a+b+c = 369$ครับ

[gon]

ข้อนี้มาแนวเดียวกับ BMO 1988 (British Mathematical Olympiad)

จงหาจำนวนเต็ม a, b, c ทั้งหมดซึ่ง
\[(x-a)(x-10) + 1 = (x+b)(x+c)\]
สำหรับทุกจำนวนจริง x

แนวคิดก็คือ

1. ใช้หลักการเทียบสัมประสิทธิ์
2. กำจัด 3 ตัวแปร ให้เหลือ 2 ตัวแปร
3. ใช้หลักการแยกตัวประกอบ

[คณิตศาสตร์]

ยกตัวอย่างให้เห็นได้ชัดหน่อยครับ เคยเจอมาหลายครั้งแล้ว

[nongtum]

ผมเคยแสดงวิธีทำโจทย์แนวนี้แล้ืวทั้งที่นี่ และในบอร์ดวิชาการ.คอม แต่ไม่รู้ว่าทำไว้ที่ไหน งั้นผมยกตัวอย่างแนวคิดคร่าวๆโดยอิงจากความคิดเห็นของคุณ gon ละกัน

[BMO 1988] จงหาจำนวนเต็ม $a, b, c$ ทั้งหมดซึ่ง $(x-a)(x-10)+1=(x+b)(x+c)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

แนวคิดก็คือ

1. ใช้หลักการเทียบสัมประสิทธิ์
   
   หลังจากกระจายเทอมทั้งสองข้างจะพบว่า $x^2-(a+10)x+(10a+1)=x^2+(b+c)x+bc$
   ดังนั้น $a+10=-(b+c)$ และ $10a+1=bc$
   
2. กำจัด 3 ตัวแปร ให้เหลือ 2 ตัวแปร แล้วใช้หลักการแยกตัวประกอบ
   
   สมมติว่าจะกำจัด $a$ ทิ้ง เราจะพบว่า $10a+1=bc=-10(b+c)-99$
   จัดรูปจะได้ $bc+10(b+c)+100=(b+10)(c+10)=1$
   เมื่อ $b+10=c+10=1$ จะได้ $b=c=-9$ และ $a=8$
   เมื่อ $b+10=c+10=-1$ จะได้ $b=c=-11$ และ $a=12$

[goodnews]

ขอบคุณมากครับ

[lunor]

อ้อเข้าใจและตอนแรกก็งงจะหายังงัยดี

[putmusic]

เหอๆๆๆๆๆๆ ก็ใช้การแก้สมการ 3 ตัวแปรนี่เอง ไม่ทันเห็นกระทู้นี้แฮะ

[lunor]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ putmusic

เหอๆๆๆๆๆๆ ก็ใช้การแก้สมการ 3 ตัวแปรนี่เอง ไม่ทันเห็นกระทู้นี้แฮะ

รู้สึกว่าเรื่องนี้คุณ putmusic ถนัดไม่ใช่เหรอคับ

[putmusic]

ทำไมถึงคิดงั้นล่ะครับ มั่วนี่นา

[Mew]

จาก (x-a)(x-59)= (x-b)(x-c)+97
x-(a+59) = x-(b+c)+97 -xสองข้าง
-(a+59) = 97-(b+c) +(b+c)สองข้าง
(b+c)-(a+59)= 97
b+c-a-59 = 97 +59สองข้าง
b+c-a = 156
a+b+c = 156+a มั้ง 5555+

[HIGG BOZON]

จาก $(x-a)(x-59)=(x-b)(x-c)+97$ จะได้ว่า $x^2-(a+59)x+59a=x^2-(b+c)x+(bc+97)$
เทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า $a+59=b+c$ และ $59a=bc+97$
จากนั้นกำจัดตัวแปร $a$ โดยที่ $bc+97=59a=59(b+c)-59^2$
ดังนั้น $bc-59(b+c)+59^2=-97$ นั่นคือ $(b-59)(c-59)=-97$
เนื่องจาก $97$ เป็นจำนวนเฉพาะ $b,c$ มีความสมมาตรกัน จึงได้ว่า
กรณีที่ 1 ; $b-59=97$ และ $c-59=-1$
จะได้ $b=156$ และ $c=58$ ทำให้ได้ว่า $a=155$
กรณีที่ 2 ; $b-59=-97$ และ $c-59=1$
จะได้ $b=-38$ และ $c=60$ ทำให้ได้ว่า $a=-37$
จะเห็นว่าค่าของ $a+b+c$ จะเกิดค่าสูงสุดในกรณีที่ 1 นั่นคือ $a+b+c=369$

คำตอบของคุณ หยินหยาง ถูกต้องแล้วครับ

[Brownian]

คิดแบบนี้ก็ได้คับ

จาก $$(x-a)(x-59)=(x-b)(x-c)+97$$
มองว่ามันเป็นฟังก์ชันพหุนาม
เมื่อ $x=59$ เราได้ $(b-59)(c-59)=-97=(-97)(1)=(97)(-1)$
กรณีแรก b=-38,60 และ c=60,-38 ตามลำดับ
กรณีหลัง b=156,58 และ c=58,156

โดยความน่าจะเป็น ในการเกิดค่าสูงสุดควรเป็นกรณีหลัง ใช้ b,c=156,58 (สลับกันได้เพราะสมมาตร)
เมื่อ $x=b=156$ เราได้ $(b-a)(b-59)=97$ ทำให้ $a=155$

ทำให้ $a+b+c=155+156+58=369$ พอตรวจสอบกรณีที่เหลือพบว่าค่าน้อยกว่า จึงสรุปว่าเป็นค่ามากสุด

อันนี้เป็นกรณีที่ a,b,c เป็นจำนวนเต็มนะครับ ถ้าเป็นจำนวนจริงผมไม่แน่ใจว่าใช้วิธีเดียวกันนี้ได้รึเปล่าคับ หะหะ

[Zenith_B]

ขอบคุณครับ

น่าทึ่งมาก