เรื่องการหาลำดับที่nค่ะ

[calfever]

[James007]

$$a_n = 2^{2n-1}-2^n$$ ครับ
ให้คนอื่นมาช่วยอธิบายวิธีแล้วกันครับ
ผมง่วงแล้ว อีกอย่างวิธีผมอาจจะไม่ค่อยดี

[nongtum]

ขอใช้ Characteristic method นะครับ ถ้าในห้องไม่ได้สอนแบบนี้ก็บอกด้วยเน้อ

จากโจทย์ จะได้สมการ characteristic คือ $r-4=0$ ดังนั้นจะสมมติให้ $a_n=\alpha4^n+\beta2^n$
แทน $a_0=1,\ a_1=6$ (แทน $n=0$ เพื่อหา $a_0$ ก่อน) ในสมการที่ตั้งมาเพื่อสร้างระบบสมการ แล้วแก้หา $\alpha,\beta$
จะได้คำตอบคือ $a_n=2\cdot4^n-2^n=2^{2n+1}-2^n$

[★★★☆☆]

$a_{n+1} = 4a_n + 2^{n+1}, a_1 = 6$

วิธีที่ 1 , หาผลเฉลยเอกพันธุ์ $a_{n+1} = 4a_n$

ชัดเจนว่าเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม r = 4

ดังนั้น ผลเฉลยเอกพันธุ์ คือ $a_n(h) = k4^n$

หาผลเฉลยเฉพาะ , $a_{n+1} = 4a_n + 2^{n+1}$

สังเกตว่า $2^{n+1}$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี r = 2

ดังนั้นสมมติให้ ผลเฉลยเฉพาะ $a_n(p) = B2^n$ เป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้ $2^{n+1} - 4B2^n = 2^{n+1}$ แล้ว B = -1

ดังนั้นผลเฉลยเฉพาะ $a_n(p) = -2^n$

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไป $a_n = a_n(h) + a_n(p) = k4^n - 2^n$

แต่ $a_1 = 6$ ดังนั้น k = 2

ดังนั้น $a_n = 2(4^n) - 2^n = 2^{2n+1} - 2^n$

-----------------------------------------------------------

วิธีที่ 2 , ให้ generating function

ให้ $f(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n =

\Sigma_{n=0}^\infty a_nx^n$

จากสมการ $a_{n+1} = 4a_n + 2^{n+1}$ ... (*)จะได้

$a_{n+1}x^{n+1} = 4xa_nx^n + (2x)^{n+1}$

$\Sigma_{n=0}^\infty a_{n+1}x^{n+1} = 4x\Sigma_{n=0}^\infty a_nx^n + \Sigma_{n=0}^\infty(2x)^{n+1}$


$f(x) - a_0 = 4xf(x) + \frac{2x}{1-2x} ... (!)$ แต่จากสมการ (*) จะได้ $a_0 = 1$

ดังนั้นจากสมการ (!)

$f(x) = \frac{1}{(1-4x)(1-2x)} = \frac{2}{1-4x} - \frac{1}{1-2x}$

นั่นคือ $f(x) = 2\Sigma_{n=0}^\infty (4x)^n - \Sigma_{n=0}^\infty (2x)^n$

ดังนั้น $a_n = 2(4^n) - 2^n = 2^{2n+1} - 2^n$

[calfever]

ขอบคุณพี่ทุกๆคนมากนะคะ โจทย์นี้ อาจารย์ท่านเอาขึ้นกระดาน โดยท่านได้เริ่มหาจาก
a1=6 a2=28 a3=120 แล้วก็บอกให้เก็บเอากลับมาคิดต่อที่บ้านอ่ะค่ะ แต่คิดเท่าไหร่ก็คิดต่อไม่ได้
สำหรับวิธีทำต่างๆที่ช่วยตอบมานั้น จะเก็บเอาไปศึกษาแล้วลองทำดูนะคะ ขอบคุณค่ะ

[คusักคณิm]

6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816,...

เขาเรียกกันว่า Perfect number

จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นสามารถหาโดยใช้สูตร$2^{n−1}(2^n − 1)$
สำหรับ $p = 2: 2^1(2^2 − 1) = 6$
สำหรับ $p = 3: 2^2(2^3 − 1) = 28$
สำหรับ $p = 5: 2^4(2^5 − 1) = 496$
สำหรับ $p = 7: 2^6(2^7 − 1) = 8128.$

http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number
http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%...B8%93%E0%B9%8C

[GoRdoN_BanksJunior]

เหมือนจำนวนสมบูรณ์เลยอ่ะครับ

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ GoRdoN_BanksJunior

เหมือนจำนวนสมบูรณ์เลยอ่ะครับ

ก็ Perfect Number นั่นแหละครับ