ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ

[Switchgear]

คุณ Batominovski คือ สุดยอดฝีมือคณิตศาสตร์ชาวไทย ซึ่งถ้าบอกชื่อจริงก็คงมีคนรู้จักเยอะมาก
แต่ผมขอให้เกียรติเจ้าตัวที่ต้องการใช้นามแฝง จึงใช้ชื่อตามเดิมที่เขาโพสต์ไว้

[dektep]

หนังสือ AnintroductiontoDiophantineEquation
http://www.4shared.com/file/32672652...Equations.html

[TitanTS]

เลิกเล่นกันแล้วหรอครับ กำลังสนุกเชียว

ข้อ 4 คิดอยู่นานเลย
$(x+1)^3+(x+2)^3+.....(x+n)^3=$ อะไรซักอย่างกำลังสาม

คิดไปคิดมาสรุปได้แค่ n=1
แล้วก็งงต่อไป

[gnopy]

ข้อ 4
เขียนโปรแกรมแก้แล้วครับ แต่อัลกอริธึมนี่ยากจริงๆ เพราะปัญหาแบบนี้เป็น NP
ตอนนี้อัลกอห่วยๆได้ n=1 แหละครับ แต่ถ้า n>1 สิ มีมั้ย

[gnopy]

ผมได้เลขชุดนี้ครับ แต่มันมีลบตัวนึง ถ้าโจทย์เปลี่ยนจากจำนวนเต็มบวกเป็นเต็มก็คงจะดีสินะ
N=87539319

p=4693243
q=-35780
r= 11888132
s=70993724

x=167
y=255
z= 228
u=414
v= 423
w=436

[gnopy]

เด๋วหลังสอบเสร็จ จะมาสบึ้มข้อแรกอีกทีครับ จะลองหา N ที่มีค่ามากกว่านี้อีกนิดนึง แล้วหาสี่ตัวที่ว่าดู

ว่าแต่อยากเห็นข้อ 23 จังเลยครับ

[TitanTS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

ผมได้เลขชุดนี้ครับ แต่มันมีลบตัวนึง ถ้าโจทย์เปลี่ยนจากจำนวนเต็มบวกเป็นเต็มก็คงจะดีสินะ
N=87539319

p=4693243
q=-35780
r= 11888132
s=70993724

x=167
y=255
z= 228
u=414
v= 423
w=436

อันนี้มันของข้ออะไรอะครับ

ผมรู้สึกเหมือนไม่ใช่ข้อสี่

[TitanTS]

ข้อ 6 ข้อนี้เหมือนจะง่ายกว่าที่ผ่านมา
$x^2 \pm ax = sq$
ถ้าเล่นลิ้นหน่อยก็ให้ a=0 จะเอา n กี่ตัวก็ยังได้

แต่ถ้าลองให้ a ไม่เป็น 0
$x*(x \pm a) = sq$
ผมลองให้ x เป็นอะไรซักอย่างยกกำลังสอง
ได้
$d^2 + a = m^2$
$d^2 - a = n^2$
$a=m^2 - d^2 =d^2 - n^2$
กลายมาเป็นสมการ $2 d^2 =m^2 + n^2$ เหมือนกับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5918
ผมเลยลองดึงเอาเลขจากตรงนี้มาใช้ในกรณีที่ a,b,c ไม่เท่ากัน

ได้สมการเป็นเช่นนี้
$25^2 \pm 24*25 = sq.$
$100^2 \pm 96*100 = sq.$
$225^2 \pm 216*225 = sq.$
$400^2 \pm 384*400 = sq.$
ไปเรื่อยๆ

และก็มี
$169^2 \pm 120*169 = sq.$
$289^2 \pm 240*289 = sq.$
$625^2 \pm 336*625= sq.$
$1369^2 \pm 840*1369 = sq.$
$2601^2 \pm 2160*2601 = sq.$
$4225^2 \pm 3696*4225 = sq.$

[gnopy]

ข้อแรกครับผม

[TitanTS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ปัญหาข้อ 7:
จงหาจำนวนเต็ม $x$ ซึ่งจะทำให้ $x^2 \pm ax = sq.,\; x^2 \pm bx = sq.,\; x^2 \pm cx = sq.,\; ...$

ผมได้ x=7225

$x^2 \pm 5544x = sq.,\; x^2 \pm 2184x = sq.,\; x^2 \pm 6000x = sq.,\; $

หรือถ้าเพิ่มตัวประกอบของ x เป็น $x=180625$
$ x^2 \pm 0x = sq.,\; $
$ x^2 \pm 150000x = sq.,\;$
$ x^2 \pm 173400x = sq.,\;$
$ x^2 \pm 138600x = sq.,\;$
$ x^2 \pm 54600x = sq.,\;$
$ x^2 \pm 72384x = sq.,\;$
$ x^2 \pm 97104x = sq.,\; $

ทีนี้จะเอากี่สมการก็ได้ไม่กลัวแล้ว ใช้ตาราง Pythagorean triples เข้าช่วย
ที่เ้หลือก็แค่ ข้อ 5 ที่ยากอยู่
ขอโจทย์เพิ่มได้ไหมครับ ผมกำลังว่างระหว่างรอฟังผลศูนย์นเรศวรไม่รู้เมื่อไรจะประกาศซะที

ว่าแต่มันกำลังง่ายขึ้นทุกทีทุกทีแล้วนะครับ

[Switchgear]

นานมากแล้ว ... ที่ผมไม่ได้แวะเข้ามาร่วมแบ่งปันความรู้อีก

ยินดีที่ได้รู้จักคนเก่งรุ่นใหม่ TitanTS ผ่านทางเว็บนี้
หลังจากที่คนเก่งรุ่น 3-4 ปีก่อน ผ่านขั้นตอนชีวิตไปไกลแล้ว :-)

อีกไม่นานผมอาจจะกลับมาร่วมสนุกด้วยอีก เพราะตอนนี้
กำลังเชียร์ให้หลานสาว 2 คน ลองฝึกคณิตศาสตร์ เพื่อสอบ
คัดเลือก สอวน. อยู่ หากหลานขยันพอสมควร ผมคงสนุก
กับการคิดโจทย์ระดับนี้อีกครั้ง

[TitanTS]

อื่ม.... สามปีแล้วจริงๆด้วย เอาเถอะครับเวลาไม่ใช่ปัญหา

เอาข้อสี่ไปดูก่อนนะครับ ที่ผมคิดคือ
$(x+1)^3 +(x+2)^3 +...+(x+n)^3$
ที่นี้ผมมองเป็น
$=\sum_{n = 1}^{\ x+n}i^3 -\sum_{n = 1}^{\ x} i^3$

จากความรู้ ม. ปลาย กระจายออกมาเราจะได้
$=\frac{1}{4} n(n+1+2x)(n^2 +2nx+n+2x+2x^2)=a^3$
$4a^3=n(n+1+2x)(n^2 +2nx+n+2x+2x^2)$
ถึงตรงนี้ ก็เลยลองให้ $n$ เป็นอะไรซักอย่างกำลังสามตัดกับ$a$แล้วเอาสองคูณตลอด
$b^3=2(n+1+2x)(n^2 +2nx+n+2x+2x^2)$
$=8x^3 +12(n+1)x^2 +(4n^2 +2)2x + 2n(n+1)^2$
แทนตัวแปรใหม่ $y=2x$
$=y^3 +3(n+1)y^2 +(4n^2 +2)y +2n(n+1)^2$
จับเท่ากับ $(y+z)^3$
$=y^3 +3zy^2 +3z^2y +z^3$
ได้สามสมการ
$z=n+1, 3z^2=4n^2+2, z^3=2n(n+1)^2$
แก้ไปจะได้แค่ $n=1 ,z=2$

ทีนี้ลองช่วยกันดูหน่อยสิครับว่าผิดตรงไหน

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมคิดว่าเราควรคิด กรณีแรกเมื่อ n=8 แล้วหาผลเฉลยดูก่อนครับ

[Switchgear]

ผมโพสต์ค้างไว้ที่โจทย์ข้อ 7 แล้วก็หายไปนานเลย เพราะงานยุ่งมาก

ช่วงนี้กลับมาดูอีกครั้ง เห็นว่าเลือดใหม่หลายคนกำลังสนใจโจทย์แนวนี้
จึงอยากโพสต์โจทย์ต่อจากที่เคยทำค้างไว้ แต่ตอนนี้ยังเฉลยไม่ไหว!

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Problem 8:
It is required to find any n square numbers such, that if the root of each be either added to
or subtracted from the respective squares, the sums and differences shall be squares.


ปัญหาข้อ 8:
จงหาจำนวนยกกำลังสอง n ตัวใดๆ ซึ่งเมื่อถอดรากของแต่ละตัว แล้วนำมาบวกหรือลบออกจากจำนวนยกกำลังสอง
ตัวเดิมที่สมนัยกันแล้ว ผลรวมหรือผลต่างต้องเขียนเป็นจำนวนยกกำลังสองได้

-----------------------------------------------------------------------------------------------

ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์นะครับ :-)

[Switchgear]

สังเกตว่า Problem 8 ไม่ได้เน้นว่าเป็น จำนวนเต็ม แต่เป็นจำนวนใดๆ!
คำตอบข้อนี้อยู่ในรูปเศษส่วน (จำนวนตรรกยะ) ที่เศษและส่วนเขียนเป็นกำลังสองได้