ช่วยคิดหน่อยนะคะ (ฟังก์ชันตรีโกณมิิติ)

[astro29]

โจทย์สองข้อนี้น่าจะเป็นเรื่องฟังก์ชันตรีโกณนะคะ (น่าจะนะ)
ขอความกรุณาผู้รู้ช่วยอธิบายวิธีทำด้วยนะคะ ขอบคุณค่ะ

1. จงหาความยาวของช่วงของค่าที่เป็นไปได้ของ$\frac{sec^2\theta - tan\theta }{sec^2\theta + tan\theta }$
ก. 8/3
ข. 10/3
ค. 16/3
ง. 6

2. $cosec\frac{\pi}{4}+ cosec\frac{\pi}{8}+ cosec\frac{\pi}{16}$

ก. $cot\frac{\pi}{16}$
ข. $cot\frac{\pi}{32} - 1$
ค. $cosec\frac{\pi}{32} - 1$
ง. $cosec\frac{\pi}{16} - 1$

[Kowit Pat.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ astro29

1. จงหาความยาวของช่วงของค่าที่เป็นไปได้ของ$\frac{sec^2\theta - tan\theta }{sec^2\theta + tan\theta }$
ก. 8/3
ข. 10/3
ค. 16/3
ง. 6

$\frac{sec^2\theta - tan\theta }{sec^2\theta + tan\theta }$

= $\frac{\frac{1-sin\theta cos\theta}{cos^2\theta}}{\frac{1+sin\theta cos\theta}{cos^2\theta}}$

= $\frac{1 - \frac{sin2\theta}{2}}{1 + \frac{sin2\theta}{2}}$

= $\frac{2 - sin2\theta}{2 + sin2\theta}$

โดยที่ -1 $\leqslant sin2\theta \leqslant$ 1

ค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ = $\frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$
ค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ = $\frac{2-(-1)}{2+(-1)}$ = 3

ความยาวของช่วงที่เป็นไปได้ = 3 - $\frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

[astro29]

ขอบคุณมากค่ะ ขออนุญาตถามอีกข้อนะคะ

$sec^2(arctan2) + cosec^2(arccot3)$ มีค่าเท่าใด

ก. 5
ข. 6
ค. 13/2
ง. 15

[gon]

ข้อ 1. วิธี
จากเอกลักษณ์ $1+tan^2A = sec^2A$

ให้ $x=tan A$ แล้ว $y = \frac{1+x^2-x}{1+x^2+x} = 1 - \frac{2x}{1+x^2+x}$

($y \in R$)

จัดรูปได้ $(y-1)x^2+(y+1)x + (y-1) = 0$

ใช้เงื่อนไข $b^2-4ac \ge 0$
ดังนั้น $(y+1)^2-4(y+1)^2 \ge 0$

$(3y-1)(y-3) \le 0$
$1/3 \le y \le 3$

ข้อ 2. ใช้เอกลักษณ์ $ \ cosec A = \cot (A/2) - \cot A$

(พิสูจน์ให้ได้ก่อนนำไปใช้)

จากนั้นประยุกต์จะตัดกันรวมกันได้ $cot (\pi/32) -cot(\pi/4) $

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ astro29

ขอบคุณมากค่ะ ขออนุญาตถามอีกข้อนะคะ

$sec^2(arctan2) + cosec^2(arccot3)$ มีค่าเท่าใด

ก. 5
ข. 6
ค. 13/2
ง. 15

ให้ arctan 2 = A แล้ว tan A= 2
ให้ arccot 3 = B แล้ว cot B = 3

ดังนั้น $sec^2A + cosec^2B $

ใช้เอกลักษณ์ $sec^2 A = 1 +tan^2$ และ $cosec^2B = 1 + cot^2B$ แล้วแทนค่าจะได้ 1 + 4 + 1 + 9 = 15

[astro29]

จงหาผลรวมของคำตอบx ทั้งหมดในช่วง 0,$\pi$/2 ทีเป็นไปตามสมการ $\frac{\sqrt{3} -1}{sin x}+ \frac{\sqrt{3} +1}{cos x} = 4\sqrt{2}$

ก. $7\pi/18$
ข. $\pi/2$
ค. $5\pi/9$
ง. $23\pi/36$

คือว่าข้อนี้ไม่รู้ว่าคิดผิดตรงไหนเลยได้แค่คำตอบเดียว คือ $\frac{\pi}{12}$ อีกคำตอบไม่ได้อ่ะค่ะ
ช่วยหน่อยนะคะ

[gon]

นำ $2\sqrt{2}$ หารตลอด จะได้

$sin(x+\pi/12) = sin (2x)$

ย้ายข้างแล้วลบกัน จะได้

$2[cos(3x+\pi/12)/2 ][sin (x-\pi/12)/2 = 0]$

$(3x+\pi/12)/2 = (2n-1)\pi/2 หรือ (x-\pi/12)/2 = n\pi$

เลือก n = 1 กับ n = 0 ตามลำดับ จะได้

$x = 11\pi/36$ หรือ $x = \pi/12$