|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
แสดงวิธีของคาร์ดาน
ผมไม่คล่องนะครับเรื่องสมการกำลัง3อยากให้ช่วยเอาโจทย์มาแล้วใช้วิธีของคาร์ดานให้ด้วยครับ
|
#2
|
|||
|
|||
ผมก็จำไม่ได้ แต่รู้ว่าอยู่ในเรื่องของ Galois Theory ซึ่งอยู่ในเรื่องของการประมาณเส้นทางโคจรของดวงดาว ซึ่งอาจมีส่วยเกี่ยวโยงมาถึงการก่อสร้างในสมัยบาบิโลเนียน หรือสมัยใหม่จะอยู่ในเรื่องของวงจรไฟฟ้าที่เกี่ยวกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของประจุไฟฟ้า
เค้าว่าเป็นวิธีเก่า อาจเพราะมีการกำหนดตัวแปรโดยไม่จำกัดเขต จึงไม่แม่นยำพอ โดยวิธีใช้แบบที่ทำให้สูตรนี้แม่นยำก็มี ซึ่งต้องคำนึงถึงเรื่อง Level of Abstraction กับ Complexity โดยรวมสูตรนี้ผมมองว่าเค้าย่อยสมการเก่า โดยใช้ Square Root คุณลองคิดดูซิว่าหากใช้ Square Root กับ สมการเส้นตรงที่ทำมุม 45 องศากับแกน x แล้วพล็อตกราฟ จะเห็นว่าความชัน ณ. จุดใดๆ จะสูงเฉพาะในช่วงแรก ซึ่งบ่งถึงการลดลง โดยหากต้องการความชันมากๆ อันดับก็ต้องสูงมากขึ้นตามไปด้วย ใครรู้ขั้นตอนช่วยโพสต์ด้วยครับ ให้แก้โจทย์เลย อาจทำให้ไม่เข้าใจสูตร |
#3
|
||||
|
||||
ซักคนอธิบายที่ครับผมก็อยากรู้ PLZZZZZZZZZZZZZZ
__________________
|
#4
|
||||
|
||||
คาร์ดาน ศึกษาได้จาก พีชคณิต สอวน
ณ ตอนนี้ผมก็ยังใช้ไม่คล่อง
__________________
Fortune Lady
|
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#6
|
|||
|
|||
น่าจะใช่ แต่ในหนังสือของ สวอน. เดาว่ากล่าวอย่างย่อ ใครลองโพสต์ให้ดูก็ดีครับ ผมไม่ได้ซื้อไว้
ของผมก็เป็นการแก้สมการกำลังสาม แต่สำหรับอะไรนั้นขออุ๊บ เพราะมันแล้วแต่คนนะซีครับ ที่จะนำไปใช้ |
#7
|
||||
|
||||
ลองอ่านเนื้อหาที่หน้า 480 ของ Higher algebra (Hall) และทำแบบฝึกหัดท้ายบทนั้นดู
ส่วนเฉลยก็มีอยู่ในเล่ม Solutions ด้วย ตามที่ผมทำ Link ไว้ในความเห็น #14 ของกระทู้ข้างล่างนี้ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=10359
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#8
|
||||
|
||||
สมการกำลังสามที่อยู่ในรูป $x^3+ax^2+bx+c=0\_\_\_\_(I)$
สามารถแปลงใหม่ได้โดย Taylor's Formula $f(x)=f(k)+f'(k)(x-k)+\dfrac{f''(k)}{2!}(x-k)^2+\dfrac{f'''(k)}{3!}(x-k)^3$ ให้ $x=y+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ใดๆ จะได้ว่า $f(y+k)=f(k)+f'(k)y+\dfrac{f''(k)}{2!}y^2+\dfrac{f'''(k)}{3!}y^3$ เพราะว่า $f(k)=k^3+ak^2+bk+c$ และ $f'(k)=3k^2+2ak+b$ และ $\dfrac{f''(k)}{2!}=3k+a$ และ $\dfrac{f'''(k)}{3!}=1$ นั่นคือ $f(y+k)=(k^3+ak^2+bk+c)+(3k^2+2ak+b)y+(3k+a)y^2+y^3$ เราต้องทำให้เทอม $y^2$ หายไป เราจึงได้ว่า $3k+a=0$ หรือ $k=-\dfrac{a}{3}$ นั่นคือ $f(y-\dfrac{a}{3})=(c-\dfrac{ab}{3}+\dfrac{2a^3}{27})+(b-\dfrac{a^2}{3})y+y^3$ เพราะฉะนั้นจะได้สมการใหม่คือ $y^3+py+q=0\_\_\_\_(II)$ โดย $p=b-\dfrac{a^2}{3}$ และ $q=c-\dfrac{ab}{3}+\dfrac{2a^3}{27}$ จากสมการ $(II)$ แทนค่า $y=u+v$ ลงในสมการ $(II)$ จะได้ว่า $u^3+v^3+(p+3uv)(u+v)+q=0\_\_\_\_(III)$ ต่อไปจะหาความสัมพันธ์ระหว่าง $u,v$ โดยสมมติให้ $p+3uv=0$ หรือ $uv=-\dfrac{p}{3}$ จะได้ $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ และจาก $(III)$ จะได้ $u^3+v^3=-q$ นั่นคือ $u^3+v^3=-q$ และ $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ ซึ่ง $u^3,v^3$ เป็นรากของสมการ $t^2+qt-\dfrac{p^3}{27}=0\_\_\_\_(IV)$ ซึ่งรากของสมการ $(IV)$ คือ $t_1=u^3=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ และ $t_2=v^3=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ ดังนั้น $u$ ที่เป็นไปได้คือ $u=\sqrt[3]{t_1},\omega \sqrt[3]{t_1},\omega ^2\sqrt[3]{t_1}$ และ $v$ ที่เป็นไปได้คือ $v=\sqrt[3]{t_2},\omega \sqrt[3]{t_2},\omega ^2\sqrt[3]{t_2}$ เมื่อ $\omega =\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ ดังนั้นค่ารากของสมการ $y^3+py+q=0$ คือ $$y_1=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}$$ $$y_2=\omega \sqrt[3]{t_1}+\omega \sqrt[3]{t_2}$$ $$y_3=\omega ^2\sqrt[3]{t_1}+\omega ^2\sqrt[3]{t_2}$$ เมื่อ $t_1=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ และ $t_2=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ ตัวอย่าง จงแก้สมการ $x^3+x^2-2=0$
__________________
||!<<<<iNesZaii>>>>!||
|
#9
|
|||
|
|||
นี่จากในหนังสือใช่มั้ยครับ ที่ผมเคยเรียนมา วิธีหาค่านี้จะถูกนำไปสร้าง Z-Chart, Y-Chart ในภายหลัง ซึ่งเค้าสมมติอะไรอีกเยอะแยะกว่าจะเอาไปใช้จริงในงานวิศวกรรม และหนังสือเรื่อง Galois Theory ของ David A. Cox ได้ลงเรื่อง Cubic equation ไว้ สรุปเป็นอันเดียวกันครับ แล้วแต่คนจะเอาไปใช้
แต่ทราบมาว่างานด้านแก้สมการนี้ ก้าวหน้าไปพอสมควร สำหรับผมคงบอกได้ว่าได้แต่เรียนรู้ ปรับใช้ในงานออกแบบเครื่องจักรในตอนนี้ ด้วยโปแกรมอาจจะเป็น Comsol หรือ Proengineer หรือ Zmax ก็ดูอลังการ http://www.zemax.com/ เค้าทำเรื่อง Optics Software ซ็อฟแวร์ฝรั่งมีเยอะมาก ผมพยายามคิดอยู่ว่าจะเป็นไปได้ไหม หากจะซื้อเค้ามาใช้ เคยเห็นโฆษณาเค้ามาก่อนนะครับ สนใจไหมครับ |
#10
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ไม่เห็นต้องใช้คาร์ดานเลยนี่ |
#11
|
|||
|
|||
ที่ถามว่าใช่คาร์ดานเดียวกันหรือเปล่า ขอตอบว่าใช่อีกครับ คือว่าสมการการจริงๆ ก็เป็นเมตริก(ตัววัด)อันหนึ่ง มองแบบนี้แล้วเหมือนกันครับ ต่างกันก็เขียนมากเขียนน้อย ซึ่งคงเพราะแล้วแต่การนำไปใช้ เช่น สมการอันดับสูงๆ ก็นิยมใช้ ใน Concrete Mathematics เป็นโดยมากที่พบเจอนะครับ
|
#12
|
||||
|
||||
เป็นตัวอย่างให้ลองเฉยๆมั้งครับ จะได้เช็คคำตอบได้
|
#13
|
|||
|
|||
โหย โคตรยากเลย
|
#14
|
||||
|
||||
ตัวคำตอบจะติด i เสมอหรือเปล่าครับ เพราะตัว โอเมก้ามันมี i อยู่
__________________
สู้ๆ สู้เพื่อ มหิดลวิทยานุสรณ์ รุ่นที่ 22 FIGHT FOR MWIT#22 |
#15
|
|||
|
|||
ไม่เสมอไปครับ อย่างเช่นสมการ $x^3-6x^2+11x-6=0$ ได้คำตอบเป็น $1,2,3$
|
|
|