Calculus Marathon

[Mr.high]

อืม ผมแอบงงนิดหน่อยว่าทำไมต้องเป็น $\int^c_0x\:f(x) dx > 0 $ สำหรับ ทุกๆ c ซึ่ง $ 0<c<1 $ด้วยล่ะครับ เพราะว่ามันอาจจะเป็นลบก็ได้หนิ

[Punk]

ในกาณี <0 ก็พิาจารณา $-f$ แทนครับ

[nithi_rung]

ข้อ 31 นะครับ (ใครคิดอะไรต่อได้ หรือข้อมูลที่ว่าไม่ได้ใช้ ก็ช่วยบอกด้วยครับ)
จาก $\int_0^1f(x)\;dx=0$ และ Mean-Value Theorem จะได้ว่ามี $ c_{0} \in (0,1) $ ซึ่งทำให้
$$f(c_{ 0 }) = \frac{1}{1-0}\int_0^1f(x)\;dx=0$$
พิจารณา $ g(x) = x f(x) $ จะได้ว่า $ g(0) = g(c_{0}) = 0 $
พิจารณา $ h(t) = \int_0^t xf(x)\;dx $ เมื่อ $ t\in [0,1] $ จะได้ว่า $ t $ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
จึงเป็นการเพียงพอที่จะแสดงว่าการที่ $ h(t)>0 $ สำหรับทุก $ t\in [0,1] $ นั้นเป็นไปไม่ได้
สมมติว่า $ h(t)>0 $ สำหรับทุก $ t\in [0,1] $... (ต่อไม่ติดแล้วครับ)

ที่สงสัยคือ จะต้องใช้ข้อมูลนี้ด้วยรึเปล่าครับ (โดย Integration by parts)
$$\int xf(x)\;dx = x\int f(x)\;dx - \int \left(\int f(x)\;dx\right)\;dx$$
หรือว่าผมคิดมากไป

[jae_bau]

เฮ้อ ห่างหายไปนานเลยครับ .... หายไปทบทวนตัวเองครับว่าต้องการอะไรกันแน่ ( และตอนนี้ก็ยังไม่อาจรู้ได้เลย )
เพิ่งจะเริ่มเรียนแคล 1 ครับ ยังไงๆ ก็อย่าว่ากันเลยน่ะครับ ถ้าโจทย์มันง่ายเกินไป ผมเอาโจทย์มาจากหนังสือที่ผมทำไม่ได้นั่นเองครับ

32. ให้ F(x) = $\int_{1-x}^{1+x}\frac{t}{1+t}dt$ เมื่อ -2<x<2
จงหาค่าของ F'(x)

33. ให้ F(x) = $\int_{sinx}^{cosx}\frac{x}{(\sqrt{t}+2)^3}dx$
จงหาค่าของ F'(x)

[M@gpie]

ข้อ 32. อาศัยทฤษฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส ดังนี้
\[ F(x) = \int_{1-x}^{1+x} \frac{t}{1+t} dt = \int_c^{1+x}\frac{t}{1+t} dt - \int^{1-x}_c \frac{t}{1+t} dt \; \; \; ; 1-x < c <1+x \]
จะได้ว่า \[ \frac{dF(x)}{dx} = \frac{1+x}{1+(1+x)} - (-1) \frac{1-x}{1+(1-x)} = \frac{4-2x^2}{4-x^2} \]
ส่วนข้อ 33. ทฤษฏีบทหลักมูลอย่างเดียวจะไม่เพียงพอ ต้องอาศัยกฏของไลบ์นิซต์สำหรับการหาอนุพันธ์ของอินทิกรัล ซึ่งมีสูตรสำเร็จดังนี้
\[ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) dy =\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy +f(x,b(x)) \frac{d}{dx}b(x) -f(x,a(x)) \frac{d}{dx}a(x)\]

[Mastermander]

34.

[warut]

เดี๋ยวนี้น้อง Mastermander หันมาศึกษา complex analysis แล้วเหรอครับ

[M@gpie]

โห ก้าวข้ามขอบเขตแคลคูลัสไปแล้วนะครับเนี่ย อิอิ Complex Analysis ผมก็เก็บเข้ากรุไปซะแล้วด้วย ไม่ค่อยได้งัดมาใช้เลยคับ รอท่านอื่นมา เฉลยต่อไป อิอิ

[passer-by]

ไม่ได้มาตอบคำถามข้างบนนะครับ

แต่มาต่อข้อ 35

35. Evaluate $$ \int_{0}^{1} \frac{x^2-1}{\ln(x)} \, dx $$

(Hint: differentiate something)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:

35. Evaluate $$ \int_{0}^{1} \frac{x^2-1}{\ln(x)} \, dx $$

(Hint: differentiate something)

$$ \int_{0}^{1} \frac{x^2-1}{\ln(x)} \, dx = \int_{0}^{1} (\int_{0}^2 x^y dy) dx $$
$$ = \int_{0}^{2} (\int_{0}^{1} x^y dx) dy $$
$$ = \int_{0}^{2} \frac{1}{y+1} dy $$
$$ = \ln{3}$$

Remark: We can interchange the integrals by Fubini's Theorem

[passer-by]

คำตอบคุณ nooonuii ถูกต้องแล้วครับ

นอกจากจะใช้ reverse ลำดับการอินทิเกรตแล้ว อาจทำได้อีกวิธีดังนี้ครับ

ให้ $$ H(m)= \int_0^1\frac{x^m-1}{\ln x} \, dx $$
ดังนั้น
$$ \large H'(m) = \int_0^1 x^m \, dx= \frac{1}{m+1} \Rightarrow H(m)= \ln(m+1)+c $$

แต่ $ H(0)=0 $ ทำให้ $$ H(m) = \ln(m+1) $$ จากนั้นก็แทน m=2 ครับ

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:


ให้ $$ H(m)= \int_0^1\frac{x^m-1}{\ln x} \, dx $$
ดังนั้น
$$ \large H'(m) = \int_0^1 x^m \, dx= \frac{1}{m+1} c $$

ไม่เข้าใจอะครับ มาได้อย่างไร

[Timestopper_STG]

d(H(m))/dmตามปกติรึเปล่าครับ

[passer-by]

สำหรับข้อสงสัยของน้อง Mastermander

$$ \begin {array}{rcl} \frac{dH}{dm}&=& \int_0^1 \frac{d}{dm}\frac{x^m-1}{\ln x} \, dx \\ &= & \int_0^1 \frac{1}{\ln x} \frac{d}{dm}(x^m-1) \, dx \\ &=& \int_0^1 \frac{1}{\ln x} (x^m \ln x ) \, dx \\ &=& \int_0^1 x^m \, dx \end{array} $$

Warning : อย่าลืมว่าเรา diff เทียบกับ m นะคร้าบ

[Mastermander]

ผมก็ diff เทียบ $x$ แล้ว ...

ก็เลยคิดไม่ออก