Calculus Marathon

[Punk]

Hint ข้อ 49: ถ้า $f$ มีค่าสูงสุดที่จุด $0<x<1$ แล้ว $f'(x)=0$ และ $f''(x)\leq0$ (a maximum principle)

[Punk]

Solution to #49 It suffices to show the uniqueness of solution of the (nonlinear) o.d.e.
\[
u''(x)+xu'(x)=u^2(x)\quad(x\in(0,1)),\quad u(0)=u(1)=0.
\]
We will prove by assuming the contrary then deduce a contradiction. Suppose $f,g$ are two distinct solutions. So there is $x_0\in(0,1)$ such that $f(x_0)\neq g(x_0)$, says $f(x_0)<g(x_0)$. Set $v(x)=g(x)-f(x)$ and let $v(x)$ attain a maximum at $x_1$. Then $v(x_1)=\max_{x\in[0,1]}v(x)\geq g(x_0)-f(x_0)>0$. Note that $x_1\in(0,1)$. At $x=x_1$, $v$ satisfies the differential inequality
\[
v''(x_1)+x_1v'(x_1)=g^2(x_1)-f^2(x_1)>0.
\]
However, $v'(x_1)=0$ and $v''(x_1)<0$, so we get a contradiction.

Remark: The technique above is very useful for proving uniqueness of solution to nonlinear partial differential equations.

[nooonuii]

อืมผมคงต้องเรียน ODE กับ PDE ไว้บ้างแล้วครับ ขอต่อเลยละกันครับ

52. จงหาค่าของ
$$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x\cos{x}} -x -1}{\sin{(x^2)}} }$$

[warut]

52. จาก $$ e^{x \cos x } -x-1 = x( \cos x - 1) + \frac{x^2 \cos^2 x}{2!} + \frac{x^3 \cos^3 x}{3!} + \frac{x^4 \cos^4 x}{4!} + \cdots $$ ดังนั้น $$ \lim_{x \to 0} \frac{ e^{x \cos x } -x-1 }{ \sin x^2 } $$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{ x( \cos x - 1) }{ \sin x^2 } \, + \, \lim_{x \to 0} \frac{ x^2 \cos^2 x }{ 2! \sin x^2 } \, + \, \lim_{x \to 0} \frac{ x^3 \cos^3 x }{ 3! \sin x^2 } \, + \, \lim_{x \to 0} \frac{ x^4 \cos^4 x }{ 4! \sin x^2 } \, + \, \cdots $$ $$ = 0 + \frac12 + 0 + 0 + \cdots = \frac12 $$ ตอนหลังนี่ใช้ความจริงที่ว่า $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \cos x - 1 }{ x } = 0 $$ และ $$ \lim_{x \to 0} \frac{ x^2 }{ \sin x^2 } = 1 $$ ครับ

[nooonuii]

53. จงหาค่าของ $$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}(x^{x^{x^{x}}}-x^{x^{x}}+x^x-x)}$$

[Mastermander]

53.
$\displaystyle{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}(x^{x^{x^{x}}}-x^{x^{x}}+x^x-x)}}=1-0+1-0=2$

[Mastermander]

54.
$$\int_e^{e^2} \frac{1+(\ln x)(\ln\ln x)}{\ln x}\,dx$$

[Mastermander]

55.
$$\lim_{n\to\infty}\bigg( \frac{\ln (n!)}{n}-\ln n \bigg)$$

[passer-by]

54. ให้ $ x=e^u $

แทนค่าเข้าไปและจัดรูปจนกลายเป็น $$ \int_1^2 e^u(\frac{1}{u}+\ln(u)) \,\, du $$

ใช้ integration by part (for $ \frac{e^u}{u}$) , คำตอบคือ $ e^2 \ln 2 $

Note : เราสามารถ generalize ได้เป็น $ \int e^x(f'(x)+f(x)) \,\, dx = e^xf(x)+c $

[Mastermander]

56.$$\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\ dx$$

[passer-by]

56. ให้ $ I= \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\ dx $

ดังนั้น $$ I= \int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-x)\sin(\pi- x)}{1+\cos^2(\pi-x)}\ dx = \int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2x}\ dx=\pi \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\ dx - I $$

เพราะ $ \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\ dx = \frac{\pi}{2} $ ดังนั้นข้อนี้ตอบ $\frac{\pi^2}{4} $

[Mastermander]

57.

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
55.
$$\lim_{n\to\infty}\bigg( \frac{\ln (n!)}{n}-\ln n \bigg)$$

I will use the fact that

$$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = a .}$$

Let $\displaystyle{ a_n = \frac{n!}{n^n} }$. Then
$$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{n}{n+1})^n = \lim_{n\rightarrow\infty} (1-\frac{1}{n+1})^{n+1} (1-\frac{1}{n+1})^{-1} = \frac{1}{e} .}$$

Therefore, $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}( \frac{\ln (n!)}{n}-\ln n ) = \lim_{n\to\infty} \ln{(\sqrt[n]{a_n})} = \ln{(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n})} = -1.}$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
I will use the fact that

$$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = a .}$$

เพิ่งเคยเห็นสูตรนี้ที่นี่แหละครับ เป็นสูตรที่มีประโยชน์กับโจทย์แนวนี้มากๆเลย มันมีชื่อหรือเปล่าครับ

[nooonuii]

ไม่ทราบชื่อเหมือนกันครับ ผมจำไว้แค่ว่า Ratio Test implies Root Test
เคยเอาไปหาพวก radius of convergence ของ power series น่ะครับ
ใน complex analysis เราจะใช้นิยามของ radius of convergence ผ่านทาง $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}$
ซึ่งบางครั้งมันหายากเหลือเกิน เลยเลี่ยงมาใช้ตัวนี้แทนครับ ซึ่งหาได้ง่ายกว่าในลำดับบางจำพวก