ขอวิธีทำ เรื่องจำนวนจริงกับทฤษฎีจำนวน ด้วยครับ.

[ง่วงนอน]

1.$\left|\,\right. x^2-x\left.\,\right| <\left|\,\right. x-3\left.\,\right| +\left|\,\right. x^2-3\left.\,\right|$ ค่าของขอบล่างมากที่สุดคืออะไร

2.จงหา $n$ ที่มากที่สุดที่ $ n^2+2008n $ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

3.จงหาจำนวนคู่อันดับของจำนวนเต็มบวก ที่ทำให้ $ x^2-y^2=420 $ โดยที่ $ x,y $ เป็นจำนวนนับ

ยังทำไม่ได้เลยครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ง่วงนอน

1.$\left|\,\right. x^2-x\left.\,\right| <\left|\,\right. x-3\left.\,\right| +\left|\,\right. x^2-3\left.\,\right|$ ค่าของขอบล่างมากที่สุดคืออะไร

ปกติแล้วปัญหาข้อนี้ จะต้องแบ่งเป็น 6 กรณี โดยมี

$x = -\sqrt{3}, 0, 1, \sqrt{3}, 3$ เป็นจุดแบ่ง

แต่โจทย์ต้องการค่าของขอบล่างมากสุด ดังนั้นจึงพิจารณาจากทางด้านซ้ายมือไล่มาจนกว่าจะเจอคำตอบหนึ่ง ก็เป็นการเพียงพอในการสรุปขอบล่างมากสุด

กรณีที่ 1 : $x\le -\sqrt{3}$

$x^2-x<-x+3+x^2-3 \Rightarrow 0 < 0 $

ซึ่งไม่จริง ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

กรณีที่ 2 : $-\sqrt{3} < x < 0$

$x^2-x<-x+3-x^2+3$

$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})<0$

$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$

นำไปอินเตอร์เซกกับ $-\sqrt{3} < x < 0$ จะได้ $-\sqrt{3} < x < 0$

ดังนั้น $-\sqrt{3}$ จะเป็นขอบล่างมากสุดตามที่ต้่องการ

[poper]

ข้อ 3 $x^2-y^2=(x+y)(x-y)=420=2^2\times3\times5\times7$
ให้ x+y=a และ x-y=b จะได้ว่า $x=\frac{a+b}{2} , y=\frac{a-b}{2}$
และเนื่องจาก x และ y เป็นจำนวนนับ ดังนั้น a+b และ a-b ต้องหารด้วย 2 ลงตัวและ aต้องมากกว่าb ทำให้ได้ว่า a และ b ต้องเป็นเลขคู่ ดังนั้นพิจารณาเพียงค่า a ที่มี 2 เป็นตัวประกอบก็เพียพอ
จะได้ $a=(2\times3 ), (2\times5 ), (2\times 7 ), (2\times3\times5) , (2\times5\times7 ), ( 2\times3\times7) , (2\times3\times5\times7)$
แต่ 3 ตัวแรก a น้อยกว่าb ใช้ไม่ได้ ดังนั้นจึงมีจำนวนคู่อันดับทั้งหมด 4 คู่อันดับครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ง่วงนอน

2.จงหา $n$ ที่มากที่สุดที่ $ n^2+2008n $ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

สมมติให้ $n^2+2008n = m^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก m บางจำนวน ชัดเจนว่า m > n

ดังนั้น $(m+n)(m-n) = 2008n = ab$

โดยให้ $a \ge b$

ดังนั้น m + n = a, m - n = b จะได้

m = (a+b)/2 และ n = (a-b)/2

แทนลงในสมการ $m^2-n^2 = 2008n$

จะได้ ab = 1004(a-b)

จัดรูปได้ $a = \frac{1004b}{-b+2004} = \frac{-1004(-b+1004) + 1004^2}{-b+1004} = -1004+\frac{1004^2}{-b+1004} ...(*)$

แสดงว่า -b+1004 จะต้องเป็นตัวประกอบของ $1004^2$

ลองสมมติเล่น ๆ ว่า -b+1004 = 1 จะได้ b = 1003 ยังมากไป

เราต้องการ n ที่มากสุด แต่ n = (a-b)/2 ดังนั้น b ต้องมีค่าน้อยสุด

เนื่องจาก $1004^2 = (2)(2)(2)(2)(251)(251)$

ดังนั้น -b + 1004 จะต้องเป็ยตัวประกอบของ $1004^2$ ที่น้อยกว่า 1004 นิด ๆ

แสดงว่า -b + 1004 = 2(251) จะได้ b = 502

แทน b ในสมการ (*) จะได้ a = 1004

จึงได้ว่า n = (a-b)/2 = 251 เป็นจำนวนเต็มบวกมากสุดตามที่ทำให้ $n^2+2008n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ตามต้องการ