ช่วยโจทย์ลิมิตข้อนี้ทีครับ

[artpiggo]

เเบบไม่ใช้วิธีโลบิตาล อยากได้วิธีเเบบ สมมติเป็น A เเล้ว หาสมการอื่นมาจับลบไปลบมา จนหา A ได้

[R.Wasutharat]

กระจาย $\sin x$ ใน Taylor's Series จะได้
\[
\sin x = x - \frac{{x^3 }}{{3!}} + \frac{{x^5 }}{{5!}} - ...
\]
ดังนั้น \[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - \sin x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{3!}} - \frac{{x^2 }}{{5!}} + \frac{{x^4 }}{{7!}} - ...} \right) = \frac{1}{6}
\]

[deathspirit]

แทนค่า $x=3t$

จะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3} = \lim_{t\to 0}\frac{3t-3\sin t+4\sin^3t}{27t^3} = \lim_{t\to 0}\frac{t-\sin t}{9t^3}+\frac{4}{27}\lim_{t\to 0}(\frac{\sin t}{t})^3}$

จะเห็นว่าพจน์แรกทางด้านขวามือ เหมือนกับพจน์ด้านซ้ายมือ จึงย้ายกลับไปลบได้

มีโจทย์ที่สามารถทำในลักษณะคล้ายๆแบบนี้ได้อีกข้อหนึ่ง

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x^2-2+2\cos x}{x^4}}$