ช่วยคิดเรื่องผลคูณของรากของสมการหน่อยนะ

[astro29]

ให้ a b c และ d เป็นคำตอบของสมการ
$x^4-3x^3+9x^2-3x+6$

จงหา $(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1)$

[กิตติ]

ดูท่าจะติดกันอิรุงตุงนัง....
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$
$= x^4-(a+b+c+d)x^3+[ac+ad+bc+bd+ab+cd]x^2$
$-[ab(c+d)+cd(a+b)]x+abcd$
.....เอามาเทียบสัมประสิทธิ์ $x^4-3x^3+9x^2-3x+6$ ได้ว่า
$abcd= 6$............(1)
$a+b+c+d =3$..................(2)
$ac+ad+bc+bd+ab+cd = 9$...............(3)
$ab(c+d)+cd(a+b)=3$...............(4)
สี่สมการ สี่ตัวแปรน่าจะแก้ได้
ผมยังมึนอยู่เลย เดี๋ยวค่อยแก้ ขอเวลาคิดในกระดาษก่อน

อีกอันหนึ่งที่น่าจะช่วยได้คือเมื่อ$a,b,c,d$เป็นคำตอบของสมการแล้วแสดงว่าค่าเหล่านี้ทำให้$x^4-3x^3+9x^2-3x+6$เท่ากับศูนย์
ดังนั้น$a^4-3a^3+9a^2-3a+6=0$
$b^4-3b^3+9b^2-3b+6=0$
$c^4-3c^3+9c^2-3c+6=0$
$d^4-3d^3+9d^2-3d+6=0$....ถ้าคืนนี้ไม่ติดอะไร จะลองนั่งคิดต่อครับ เดี๋ยวขอตัวไปป้อนนมลูกก่อนครับ
คิดมาสองวันแล้วครับยังติดค่าโน่นค่านี่ รู้สึกว่าคำตอบของสมการนี้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน...
โจทย์เต็มๆน่าจะเป็น $x^4-3x^3+9x^2-3x+6=0$ เพราะสมการน่าจะมีเครื่องหมายเท่ากับ
ขอเวลาคิดอีกหน่อยครับ
ถ้ามาการนี้เป็นสมการแบบสมมาตรอย่าง $x^4-3x^3+9x^2-3x+1=0$ จะแก้ง่ายขึ้นอีก ลองดูครับ

[กิตติ]

ยังคิดไม่ได้คำตอบ เหลือจิ๊กซอว์อีกชิ้นเดียวแต่ยังตัน ช่วยดูว่าผมคิดอะไรผิดไปบ้าง เนื่องจากผมมีความรู้เหลืออยู่ไม่เกินมัธยมปลายดังนั้นวิธีจึงดูไม่สวยไม่เท่ห์เท่าไหร่
เริ่มจากกระจายพจน์$(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1) =(abcd)^4+(a^4+b^4+c^4+d^4)+(a^4b^4+a^4c^4+a^4d^4+b^4c^4+b^4d^4+c^4d^4)+(a^4b^4c^4+a^4b^4d^4+a^4c^4d^4+b^4c^4d^4)$
เริ่มจากหา$a^4+b^4+c^4+d^4$ ซึ่งต้องหา$a^3+b^3+c^3+d^3$ กับ $a^2+b^2+c^2+d^2$ให้ได้ก่อน เพราะเรามี$(a^4+b^4+c^4+d^4)-3(a^3+b^3+c^3+d^3)+9(a^2+b^2+c^2+d^2)-3(a+b+c+d)+24=0$

$(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+ad+bc+bd+ab+cd )$
$a^2+b^2+c^2+d^2=9-2(9) = -9$
$(a+b+c+d)^3= (a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)+2(ac+ad+bc+bd+ab+cd )(a+b+c+d)$
จะได้ว่า$(ac+ad+bc+bd+ab+cd )(a+b+c+d)= 3(abc+abd+acd+bcd)+(a^2b+a^2c+a^2d+ab^2+ac^2+ad^2+b^2c+b^2d+bc^2+bd^2+c^2d+cd^2)$
$abc+abd+acd+bcd = abcd(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})$
เรายังได้อีกว่า$(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a^3+b^3+c^3+d^3)+(a^2b+a^2c+a^2d+ab^2+ac^2+ad^2+b^2c+b^2d+bc^2+bd^2+c^2d+cd^2)$

ต้องหา$\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ก่อน
จาก$ab(c+d)+cd(a+b)=3$
$\frac{(c+d)}{cd}+\frac{a+b}{ab} =\frac{1}{2} $
$\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{2}$
ให้$a^2b+a^2c+a^2d+ab^2+ac^2+ad^2+b^2c+b^2d+bc^2+bd^2+c^2d+cd^2 =M$
$(ac+ad+bc+bd+ab+cd )(a+b+c+d)= 27$
$9+M=27 \rightarrow M=18$
$(a+b+c+d)^3=27=a^3+b^3+c^3+d^3 +M+2(27) = a^3+b^3+c^3+d^3 +18+54$
$a^3+b^3+c^3+d^3 = 27-18-54 = -45$
ยังไม่จบครับ นี่แค่หนึ่งในสาม คืนนี้โพสเท่านี้ก่อน ขอตัวไปป้อนนมลูกก่อนครับ พรุ่งนี้จะเขียนต่อ ยาวหลายตอนครับ

[หยินหยาง]

เห็นถึงความพยายาม ลองดูที่กระทู้นี่ครับ น่าจะเห็นแนวคำตอบได้
http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=6545&page=2

[กิตติ]

ก่อนอื่นต้องขอบคุณซือแป๋หยินหยาง กับน้องNe[S]zA ที่เฉลยแนวคิดไว้ให้
ลบที่เคยทำทิ้งไว้ด้วยพีชคณิตแบบถึกๆ
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4-3x^3+9x^2-3x+6$
$f(i)=(i-a)(i-b)(i-c)(i-d)=i^4-3i^3+9i^2-3i+6 = (-2)$
$(f(i))^2 =(i-a)^2(i-b)^2(i-c)^2(i-d)^2= (a^2-2ai-1)(b^2-2bi-1)(c^2-2ci-1)(d^2-2di-1)=(-2)^2 = 4$
$f(-i)=(i+a)(i+b)(i+c)(i+d)=(-i)^4-3(-i)^3+9(-i)^2-3(-i)+6 = (-2)$
$(f(-i))^2 =(i+a)^2(i+b)^2(i+c)^2(i+d)^2= (a^2+2ai-1)(b^2+2bi-1)(c^2+2ci-1)(d^2+2di-1)=(-2)^2 = 4$
$(f(i))^2\times (f(-i))^2=(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1) =16$.....ตรงนี้คิดผิด
$(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1) =16$

$(f(i))^2\times (f(-i))^2=(a^4+2a^2+1)(b^4+2b^2+1)(c^4+2c^2+1)(d^4+2d^2+1) =16$
....รู้สึกว่าจะยังไม่ใช่คำตอบ เดี๋ยวขอไปคิดก่อน
นั่งคิดมาหลายวัน หมดกระดาษไปหลายหน้า สรุปเหลือแค่นี้.....แค่มุมมองต่างกัน ใส่้แนวคิดต่างกัน วิธีก็ต่างกันคนละเรื่องเลย...
สุดยอดครับซือแป๋หยินหยาง

[banker]

อึดจริง

ผมจอดป้ายตั้งแต่สถานี #2 แล้ว

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ astro29

ให้ a b c และ d เป็นคำตอบของสมการ
$x^4-3x^3+9x^2-3x+6$

จงหา $(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1)$

สมมติให้ $y = x^4+1$ แล้ว

$(x^4+9x^2+6)^2 = 9x^2(x^2+1)^2$

$x^8+81x^4+36+18x^6+12x^4+108x^2=9x^6+18x^4+9x^2$

$x^8+9x^6+75x^4+99x^2+36=0$

$(x^8+75x^4+36)^2=[9x^2(x^4+11)]^2$

$(x^8+75x^4+36)^2=81x^4(x^4+11)^2$

$[(y-1)^2+75(y-1)+36]^2 = 81(y-1)(y-1+11)^2$

$(y^2+73y-38)^2-81(y-1)(y+10)^2=0$

ดังนั้น $(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1) = 38^2+81(10)^2 = 9544$

[กิตติ]

ขอบคุณทุกท่านที่เข้ามาช่วยแบ่งปันแนวคิด....หลายบรรทัดผมยังตามไม่ทัน ขอเวลาไปย่อยเองครับ ถ้าติดขัดแล้วจะเข้ามาถาม รบกวนอีกรอบครับ
แนวคิดของคุณห้าดาวน่าสนใจ ขอเวลาไปทดเลขตามอีกนิดครับ ยังตามไม่ทัน
ป๋าBankerถ่อมตัวอีกแล้ว...ถ้าป๋าลงมาทำจริงโจทย์แค่นี้ไม่คณามือป๋าหรอกครับ

[กิตติ]

ผมลองใช้วิธีที่ซือแป๋แนะนำ
$a^4+1 = a^4-(-1) =a^4-i^2=(a^2-i)(a^2+i) =(a^2-i)(a^2-(-i))$
$= (a-\sqrt{i} )(a+\sqrt{i} )(a-i\sqrt{i} )(a+i\sqrt{i} )$
$(a-\sqrt{i} )(a+\sqrt{i} ) = 106$
$f(i\sqrt{i} )=(i\sqrt{i})^4-3(i\sqrt{i})^3+9(i\sqrt{i} )^2-3i\sqrt{i} +6 $
$= -1-3\sqrt{i} -9i-3i\sqrt{i} +6$
$= (5-9i)-3\sqrt{i}(1+i)$
$f(-i\sqrt{i} )=(-i\sqrt{i})^4-3(-i\sqrt{i})^3+9(-i\sqrt{i} )^2+3i\sqrt{i} +6 $
$=-1+3\sqrt{i} -9i+3i\sqrt{i} +6$
$=(5-9i)+3\sqrt{i}(1+i)$
$f(i\sqrt{i} )\times f(-i\sqrt{i} )= (5-9i)^2-(3\sqrt{i}(1+i))^2 $
$=-38-90i$

ดังนั้น$(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1) = 106\times -(38+90i)$....ไม่รู้ว่าผิดตรงไหนไหมครับ ค่าออกมาเป็นจำนวนเชิงซ้อนมันดูแปลกๆ ผมว่าคำตอบน่าจะเป็นจำนวนเต็ม

สำหรับวิธีของคุณห้าดาว..ผมคิดตามได้แค่ถึงบรรทัดก่อนสุดท้าย บรรทัดสุดท้ายผมคิดมาชั่วโมงหนึ่งแล้วยังงง คงขอคำอธิบายอีกหน่อยครับ ตามไม่ทันจริงๆครับ

[nooonuii]

วิธีของคุณ ห้าดาว เป็นวิธีการทั่วไปในการทำโจทย์แนวนี้ครับ

สมมติ $x=a^4+1,y=b^4+1,z=c^4+1,w=d^4+1$

จากนั้นก็พยายามสร้างพหุนามที่มี $x,y,z,w$ เป็นคำตอบ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่โจทย์กำหนดให้

จะเห็นว่าคำตอบที่โจทย์ต้องการก็คือ พจน์ที่เป็นค่าคงที่ที่ได้จากพหุนามใหม่ที่เราสร้างขึ้นมา อันนี้สรุปมาจากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง สมมติว่า $a,b,c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-3x+3=0$ จงหาค่าของ $(a+1)(b+1)(c+1)$

ให้ $x=a+1,y=b+1,z=c+1$

จะได้ว่า $a=x-1,b=y-1,c=z-1$

ดังนั้น $x,y,z$ เป็นรากของสมการ

$(x-1)^3-3(x-1)+3=0$

เนื่องจากโจทย์ต้องการค่าของ $xyz$

เราก็ไม่ต้องกระจายให้ยุ่งยากเพราะจากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนาม

$-xyz$ ก็คือพจน์ค่าคงที่ที่ได้จากพหุนามข้างบนนั่นเอง

ดังนั้น $-xyz=-1+3+3=5$

[cfcadet]

น่าสนุกนะครับเนี่ย

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณNOOONUII ที่อธิบายให้อย่างละเอียด
ผมเองความรู้จำกัด ผมก็มองว่า$(a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1)$ เป็นพจน์ท้ายที่เป็นค่าคงตัวของสมการพหุนามสมการหนึ่ง แต่ผมไปต่อไม่เป็นเองครับ ความรู้เหลือไม่เกินม.ปลายเลยไปต่อไม่ได้
จากที่คุณNOOONUII อธิบายผมเข้าใจแล้วครับ
ผมลองกระจายพจน์ตามบรรทัดก่อนสุดท้าย....จริงๆเราสนใจแต่พจน์ที่ไม่มีค่า$y$ ดูแค่พจน์ 38 กับ 81 และ100 ก็ได้ ใส่เครื่องหมาย
ก็จะได้ตามบบรทัดสุดท้ายที่คุณห้าดาวเขียนให้ดูว่าเท่ากับ$38^2-(-8100)=38^2+8100$....เข้าใจแล้วครับ
ไม่น่าทำแบบถึกๆเลย...เสียเวลาไปหลายวัน
ขอบคุณทุกท่านที่สละเวลาช่วยเขียนอธิบาย และไม่เบื่อคนที่ความรู้น้อยอย่างผม...

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

วิธีของคุณ ห้าดาว เป็นวิธีการทั่วไปในการทำโจทย์แนวนี้ครับ

สมมติ $x=a^4+1,y=b^4+1,z=c^4+1,w=d^4+1$

จากนั้นก็พยายามสร้างพหุนามที่มี $x,y,z,w$ เป็นคำตอบ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่โจทย์กำหนดให้

จะเห็นว่าคำตอบที่โจทย์ต้องการก็คือ พจน์ที่เป็นค่าคงที่ที่ได้จากพหุนามใหม่ที่เราสร้างขึ้นมา อันนี้สรุปมาจากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง สมมติว่า $a,b,c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-3x+3=0$ จงหาค่าของ $(a+1)(b+1)(c+1)$

ให้ $x=a+1,y=b+1,z=c+1$

จะได้ว่า $a=x-1,b=y-1,c=z-1$

ดังนั้น $x,y,z$ เป็นรากของสมการ

$(x-1)^3-3(x-1)+3=0$

เนื่องจากโจทย์ต้องการค่าของ $xyz$

เราก็ไม่ต้องกระจายให้ยุ่งยากเพราะจากความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนาม

$-xyz$ ก็คือพจน์ค่าคงที่ที่ได้จากพหุนามข้างบนนั่นเอง

ดังนั้น $-xyz=-1+3+3=5$

รบกวนถามหน่อยครับ สมมติว่าบังเอิญ a,b,c ซ้ำกัน เช่น 1,1,2
เราจะแน่ใจได้ไหมครับว่าพหุนามที่ได้มาใหม่นั้นจะมีรากเป็น a+1,b+1,c+1 ซึ่งคือ 2,2,3
เป็นไปได้ไหมที่จะได้พหุนามที่มีรากเป็น 2,3,3 ออกมาแทนครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

รบกวนถามหน่อยครับ สมมติว่าบังเอิญ a,b,c ซ้ำกัน เช่น 1,1,2
เราจะแน่ใจได้ไหมครับว่าพหุนามที่ได้มาใหม่นั้นจะมีรากเป็น a+1,b+1,c+1 ซึ่งคือ 2,2,3
เป็นไปได้ไหมที่จะได้พหุนามที่มีรากเป็น 2,3,3 ออกมาแทนครับ

ถ้าเป็นกรณีนี้ได้ครับ รากซ้ำก็ไม่มีปัญหา

ถ้ามองในแง่ของกราฟจะเห็นได้ชัด

เราแค่เลื่อนกราฟของพหุนามเดิมไปทางขวาหนึ่งหน่วย

ค่า $x$-intercepts ก็จะเลื่อนตามไปด้วย

แต่ถ้าเป็น $a+1,b+2,c+3$ อย่างนี้คงใช้วิธีการเดิมไม่ได้

มี hidden fact อีกอันนึงที่ผมลืมอธิบายไป

พหุนามที่มี $a+1,b+1,c+1$ เป็นรากมีเยอะครับ แต่ที่เราจะสร้างเพื่อนำมาหาค่า $(a+1)(b+1)(c+1)$

ต้องเป็นพหุนามกำลังสามเท่านั้น ถ้ามากกว่านั้นจะได้รากเกินมา และต้องระวังเรื่องสัมประสิทธิ์หน้าเทอม $x^3$ ด้วยครับ

[Onasdi]

โอ้ว เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ