การบ้านความน่าจะเป็น

[*~Dai-Dai~*]

ข้อ 1 มีหนังสือทั้งหมด 12 เล่ม เป็นอังกฤษ 4 เล่มเหมือนกัน ไทย 5 เล่มเหมือนกัน และฟิสิกส์ 3 เล่มเหมือนกัน จะมีวิธีจัดเรียงหนังสือทั้งหมดกี่วิธีเมื่อ ฟิสิกส์อยู่แยกกันทุกเล่ม

ข้อ 2 จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดตัวอักษรในคำว่า ENTRANCE โดยตัวอักษร E ไม่อยู่ติดกัน

ข้อ 3 ถ้านำเลยโดด 0 2 2 4 4 4 5 มาสร้างเป็นจำนวนที่มีค่ามากกว่า 1,000,000 จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน

[tongkub]

1. เราไม่สนฟิสิกก่อน จัดเรียงไทยกับอังกฤษแบบมั่วๆ ได้ $\frac{9!}{4!5!}$ แล้วในบรรดา 9 เล่มจะมี 10 ช่องว่างให้แทรก เราก็เลือกที่จะเลือก 3 เล่นนั้นด้วย $\binom{10}{3} $

รวมจะได้ $\frac{9!}{4!5!}\binom{10}{3}$ วิธีครับ

แต่ถ้า ฟิสิก 3 เล่มแตกต่างกัน ต้องอย่าลืมเพิ่ม 3! นะครับ จัดเรียงทีหลังด้วย

2. ไม่สนใจ E เช่นเดิมครับ เอาอักษร N T R A N C เรียงได้ 6! แล้ว เราก็เลือกช่องว่างมาแทรก E ได้ $\binom{7}{2} $

รวมจะได้ $\frac{6!}{2!}\binom{7}{2}$

3. เราใช้การแตกกิ่งครับ โดยพิจารณาหลักล้านก่อน ต้องเป็น 0 ไม่ได้ จะได้ 3 วิธีก่อน คือ 2 หรือ 4 หรือ 5 แต่ถ้าเราเลือกตัวใดตัวหนึ่งแล้ว น่าจะมีปัญหาตอนเรียง 6 ตัวหลัง ผมขอแยกกรณีดังนี้ครับ

กรณี 1 ขึ้นต้น ด้วย 2 จะต่อได้โดย เรียงสับเปลี่ยนของซ้ำ $\frac{6!}{1!1!3!1!}$ วิธีครับ
กรณี 2 ขึ้นต้น ด้วย 4 จะต่อโดย $\frac{6!}{1!2!2!1!}$ วิธีครับ
กรณี 3 ขึ้นต้น ด้วย 5 ได้ $\frac{6!}{1!2!3!}$ วิธีครับ

ถ้ามีผิดพลาดตรงไหน ก็ช่วยท้วงติงด้วยนะครับ

[*~Dai-Dai~*]

ข้อ 2 มี N ซ้ำอ่ะ่ค่ะ ต้องเป็น $\frac{6!}{2!} \binom{7}{2} $ หรือเปล่าคะ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ *~Dai-Dai~*

ข้อ 2 มี N ซ้ำอ่ะ่ค่ะ ต้องเป็น $\frac{6!}{2!} \binom{7}{2} $ หรือเปล่าคะ

เข้าใจถูกแล้วครับ

[กิตติ]

ข้อ2....คิดอีกแบบได้ว่า คิดวิธีการสลับทั้งหมดก่อนแล้วลบด้วยจำนวนที่เกิดจากการเอาEEติดกัน
จำนวนวิธีทั้งหมดคือ$\frac{8!}{2!2!}$
วิธีที่EEติดกัน$\frac{7!}{2!} $
วิธีที่Eไม่ติดกันเท่ากับ$\frac{8!}{2!2!}-\frac{7!}{2!} = 3\times \frac{7!}{2!}$

[กิตติ]

วิธีคิดในข้อ2ของน้องtongถูกแล้วครับ แต่ลืมไปว่ามันจะมีแบบที่นับซ้ำอย่างเช่น
$E_1 N T R A N C E_2$ กับ $E_2 N T R A N C E_1$
แต่เราจะเห็นเป็น$ENTRANCE$....เหมือนกัน จึงต้องเอา 2 หาร ไม่ได้หารเพราะว่ามีNซ้ำกัน 2 ตัว

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

วิธีคิดในข้อ2ของน้องtongถูกแล้วครับ แต่ลืมไปว่ามันจะมีแบบที่นับซ้ำอย่างเช่น
$E_1 N T R A N C E_2$ กับ $E_2 N T R A N C E_1$
แต่เราจะเห็นเป็น$ENTRANCE$....เหมือนกัน จึงต้องเอา 2 หาร ไม่ได้หารเพราะว่ามีNซ้ำกัน 2 ตัว

ขอบคุณคุณกิตติครับ ที่ช่วยอธิบายความหมายให้เข้าใจกันถูกต้อง
แต่ถ้าจะให้จำกันง่ายๆก็จะจำกันว่าถ้ามีของเหมือนกันซ้ำกันจะต้องหารด้วยจำนวนของที่ซ้ำเสมอจึงมีสูตรนี้ครับ
$ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง โดยมี ของซ้ำ n_1,n_2,n_3,...n_k ชิ้น (n_1+n_2+n_3+...n_k=n)$
$จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยน =\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}$

[กิตติ]

ถ้าผมจะเขียนต่อว่า เมื่อกี้ผมอธิบายผิด...เพราะลองกลับไปอ่านวิธีของน้องtongแล้ว ผมด่วนเขียนเกินไป วันนี้ท่าทางจะติ๊งต๋องแล้วผม
น้องเขาเอาตัวอักษรที่ไม่ใช่EEมาเรียงกันก่อน แล้วเลือกเอาที่ว่าง 2 ที่จากที่ว่าง 7 ที่มาให้EEลง เนื่องจากเป็นการเลือกที่ไม่ได้ให้ความสำคัญกับตำแหน่งก่อนหลัง จึงเลือกได้$\binom{7}{2} $ จากนั้นค่อยสลับตำแหน่งของตัวอักษรที่เหลืออีก 6 ตัวซึ่งมี N 2 ตัว จึงสลับกันได้$\frac{6!}{2!} $.....จึงตอบว่า$\frac{6!}{2!} \binom{7}{2} $

ขออภัยในความเบลอและความด่วนได้ใจเร็วของผมเองครับ

[กิตติ]

ข้อ3....คิดแบบง่ายๆคือ เรามีเลข 7 ตัว มีศูนย์หนึ่งตัว ตัวอื่นมีค่ามากกว่า 1ทั้งหมด เราจะสร้างตัวเลขที่มีค่ามากกว่าหนึ่งล้าน เราก็หาแบบอ้อมๆคือ หาดูว่ามีตัวเลขต่ำกว่าล้านกี่จำนวนแล้วเอาไปลบจากจำนวนตัวเลขทั้งหมดที่เกิดจากการจัดเรียง ตัวเลขที่น้อยกว่าล้านก็ต้องขึ้นต้นด้วยศูนย์ ดังนั้นจำนวนที่ได้คือ$\frac{6!}{2!3!} $
จำนวนที่เกิดได้ทั้งหมดเท่ากับ$\frac{7!}{2!3!} $
จำนวนที่เกิดจากการเรียงแล้วมีค่ามากว่าหนึ่งล้านคือ$\frac{7!}{2!3!} -\frac{6!}{2!3!} =3600$ จำนวน

ข้อนี้ถ้าเราลองให้มีเลขหนึ่งเข้ามาด้วย มีศูนย์อีกตัวหนึ่งกลายเป็นศูนย์สองตัว....กลายเป็น 1 2 2 4 0 0 5...จะมีกี่จำนวนที่เรียงกันแล้วได้มากกว่าหนึ่งล้าน ลองคิดดูไหมครับ

[tongkub]

ลืม N ตอนสับเปลี่ยนของ ENTRANCE

ขออภัยด้วยครับผม และขอบคุณเซียนทุกๆท่านมาตรวจสอบให้ครับ

[*~Dai-Dai~*]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้ถ้าเราลองให้มีเลขหนึ่งเข้ามาด้วย มีศูนย์อีกตัวหนึ่งกลายเป็นศูนย์สองตัว....กลายเป็น 1 2 2 4 0 0 5...จะมีกี่จำนวนที่เรียงกันแล้วได้มากกว่าหนึ่งล้าน ลองคิดดูไหมครับ

ขึ้นต้นด้วย 1 ได้ $\frac{6!}{2!1!2!1!}$ จำนวน
ขึ้นต้นด้วย 2 ได้ $\frac{6!}{1!1!1!2!1!}$ จำนวน
ขึ้นต้นด้วย 4 ได้ $\frac{6!}{1!2!2!1!}$ จำนวน
ขึ้นต้นด้วย 5 ได้ $\frac{6!}{1!1!1!2!}$ จำนวน

รวมกันทั้งหมดได้ 1080 จำนวน

ใช่อย่างนี้มั้ยคะ

[กิตติ]

ใช่แล้วครับ แนวคิดแบบนี้
ดูตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วย 5 ว่า น่าจะมีทั้งหมด$\frac{6!}{2!2!} $
เอาแต่ละกรณีมาบวกกัน